ข้อสอบสิรินธรม.ปลายครั้งที่ 9 (8/1/2555)

['' ALGEBRA '']

#15 $มีคำตอบ2ตัวครับ คือ-\sqrt{3} กับ\sqrt{3} ครับ ไม่ใช่เซตว่างนะคับ$

[Oriel]

$1\bullet$ สำหรับแต่ละจำนวนจริง $x$ ให้สัญลักษณ์ $[x]$ แทนจำนวนเต็มตัวมากสุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$ ให้ $A$ แทนเซตของจำนวนจริง $a$ ทั้งหมดซึ่งไม่ใช่จำนวนลบที่ทำให้สมการ $4[an]=n+[a[an]]$ เป็นจริงสำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n$ ข้อใดเป็นลักษณะของ $A$

1.เซตว่าง
2.เซตจำกัดที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวในช่วงเปิด $(2,4)$
3.เซตจำกัดที่มีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัวและเป็นเซตย่อยของช่วงเปิด $(-1,5)$
4.เซตอนันต์ซึ่งทุกสมาชิกมีค่ามากกว่า $1$

$2\bullet$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.สำรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$ แล้ว $n-1$ และ $n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่
ข.สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม $n>6$ ถ้า $n-1$ และ $n+1$ ต่างเป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจะมีจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $n^2(n^2+16)=720k$
ข้อใดถูก

$3\bullet $ จำนวนทั้งหมดของลำดับอนันต์เลขคณิต $\{a_n\}^\infty _{n=1}$ ของจำนวนเต็มซึ่งมี $2$ และ $2012$ อยู่ในสิบพจน์แรกเท่ากับเท่าใด

$4\bullet $ ข้อใดเป็นจำนวนของจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^2-3$ เป็นตัวหารของ $n^4+5n^3-4n^2-15n+45$
1. 5$\quad $2. 6$\quad $3. 7$\quad $4. 8

$5\bullet$ ให้ $\mathbb{R}$ แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และทำให้ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย
$$g(x)=(\cos x-\sin x-1)(\cos x+\sin x+1)$$ สำหรับทุกๆ $x \in \mathbb{R}$
ถ้า $A=\{\theta\in \mathbb{R} \;|\;g(\theta)$ มีค่ามากที่สุด$\}$ และ $B=\{\beta \in \mathbb{R} \;|\;g(\beta )$ มีค่าน้อยที่สุด$\}$ ข้อใดเป็นค่ามากสุดของ $g(\theta+\beta)$ โดยที่ $\theta\in A\cap [-\pi,\pi]$ และ $\beta \in B\cap [-\pi,\pi]$
1.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3-\sqrt{3})^2$
2.$\frac{\sqrt{3}}{4}(3+\sqrt{3})^2$
3.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1-\sqrt{3})^2$
4.$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{3})^2$

$6\bullet$ ให้ $n$ และ $r$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $1\leqslant r\leqslant n$ และ $A=\{1,2,3,...,n\}$ ข้อใดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวน้อยสุดของสับเซตทั้งหลายของ $A$ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ $r$ ตัว

$1.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$2.\sum_{k = 1}^{n}\binom{k}{1}\binom{n-k}{r-1}$
$3.\sum_{k = 1}^{n-r+1}\binom{n-1}{r-1}$
$4.\sum_{k = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}$

[Oriel]

$$f(2011x-f(0))=2011x^2$$
$$f(x)=2011\left(\frac{x+f(0)}{2011}\right)^2$$
แทนค่า $x=0$
$$f(0)=2011\left(\frac{0+f(0)}{2011}\right)^2=\frac{f(0)^2}{2011}$$
$$f(0)^2-2011f(0)=f(0)(f(0)-2011)=0$$
$$\therefore f(0)=0,2011$$
หา$f(2011)$
ได้ $2011,8044$

[A.DreN@l_ine]

$(n^2-4n+3)^{n^2+43}=(n^2-4n+3)^{20n-21}$

ทำอย่างนี้ได้ไหมครับ
$(n^2-4n+3)^{n^2+43-20n+21}=1$
$(n^2-4n+3)^{n^2+-20n+64}=1$
มี 2 กรณี คือ เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ ฐานเป็น 1

$n^2+-20n+64=0$
$(n-4)(n-16)=0$
$n=4,16$

$n^2-4n+3=1$
$n^2-4n+2=0$ คำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม

$\therefore n=4,16$

[Ne[S]zA]

แยก 3 กรณีครับ
case I : เลขชี้กำลังเท่ากัน
$n^2+43=20n-21$
จะได้ว่า $n^2-20n+64=0$ นั่นคือ $n=4,16$

case II : ฐานเท่าักับ $0$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=0$ นั่นคือ $n=1,3$ แต่ $n=1$ ทำให้เกิด $0^{-1}$ ซึ่ง ไม่นิยาม ดังนั้น $n=3$ เท่านั้น!!

case III : ฐานเท่ากับ $-1$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=-1$ นั่นคือ $n=2$ เช็คแล้ว ใช้ได้
เพราะฉะนั้น $n=2,3,4,16$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

แยก 3 กรณีครับ
case I : เลขชี้กำลังเท่ากัน
$n^2+43=20n-21$
จะได้ว่า $n^2-20n+64=0$ นั่นคือ $n=4,16$

case II : ฐานเท่าักับ $0$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=0$ นั่นคือ $n=1,3$ ซึ่งไม่ทำให้เลขชี้กำลังเป็นศูนย์จึงใช้ได้

case III : ฐานเท่ากับ $-1$
จะได้ว่า $n^2-4n+3=-1$ นั่นคือ $n=2$ เช็คแล้ว ใช้ได้
เพราะฉะนั้น $n=1,2,3,4,16$

$0^{-1}$ ไม่นิยามนะครับ

[Oriel]

n=2,3,4,16 รึปล่าวครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

$0^{-1}$ ไม่นิยามนะครับ

งั้นตอบแค่ $n=2,3,4,16$
หลอกสุดๆไปเลยข้อนี้