ห่างๆ ตลกดี

[Spotanus]

สำหรับ $a,b,c>0$ ที่ $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$ จงแสดงว่า
$$\sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{9}{2}\left(ab+bc+ca\right) }>\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^2+a^{2}}$$
ขอแนวคิดด้วยครับ

[JanFS]

ลองใช้ $\left(a-b\right)^{4}$ ดูสิครับ

[JanFS]

ในเมื่อผ่านไปสองสัปดาห์แล้ว ยังไม่มีใครทำ
ดังนั้นผมขออนุญาตเฉลยเลยนะครับ

จาก $a,b,c>0$ และ
จาก $a^{3}+b^{3}+c^{3}=1$ ดังนั้น $a^{3}<1, b^{3}<1, c^{3}<1$
เราเคลมว่า $\sqrt{\frac{a^{4}+b^{4}+6a^{2}b^{2}}{4ab}}\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
ซึ่งพิสูจน์ได้โดยการกระจาย $\left(a-b\right)^{4}\geq0$
แต่ $a^{3}<1, b^{3}<1, c^{3}<1$ ดังนั้น
$$\sqrt{\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{3}{2}ab}>\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $\sqrt{\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}+\frac{3}{2}bc}>\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ และ $\sqrt{\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{3}{2}ca}>\sqrt{c^{2}+a^{2}}$
หลังจากรวมทั้งสามอสมการ และโดย Power Mean ในขั้นตอนสุดท้าย จะได้ว่า
$$\sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{9}{2}\left(ab+bc+ca\right)}>\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b ^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$$
ตามต้องการ

ปล. โจทย์ต้องแก้เป็น $\frac{3}{2}$ นะครับ ไม่เช่นนั้นแล้วถ้าแทนให้ $a=b=c=3^{-\frac{1}{3}}$ แล้วไม่จริง

[Spotanus]

แก้ให้แล้วครับ

[RoSe-JoKer]

ดู Solution ของคุณ JanFS แล้วมาดู Solution ของผมบ้างนะครับ
ยกกำลัง 2 ทั้งสองข้างเราได้ว่าเราต้อง Proof ว่า
$\frac{3}{2} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{9}{2}(ab+bc+ca) > 2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}$
ซึ่งเราได้ว่า จาก $\sum_.(a^2+b^2)+(b^2+c^2)\geqslant 2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}$
ดังนั้น $6(a^2+b^2+c^2)\geqslant 2(a^2+b^2+c^2)+2\sum\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}$
ดังนั้นเราต้อง proof ว่า
$\frac{3}{2} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{9}{2}(ab+bc+ca) > 6(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)+3abc(ab+bc+ca)>4abc(a^2+b^2+c^2)$
แต่จากโจทย์
$a^3+b^3+c^3=1$
ดังนั้นเราก็ทำให้ดีกรีอสมการเท่ากันได้เพราะ
$(ab+bc+ca)=(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ca)$
ดังนั้นเราต้องทำการพิสูจน์ว่า
$\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ca)+3abc(ab+bc+ca)>4abc(a^2+b^2+c^2)$
เขียนได้เป็น
$(a^4b+a^4c+b^4a+b^4c+c^4a+c^4b)+3(a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2)>4(a^3bc+ab^3c+abc^3)$
ซึ่งจาก AM-GM เราได้ว่า
$\sum a^4b+a^4c+a^2b^2c+a^2bc^2\geqslant \sum 4a^3bc$....
แล้วทีนี้มันจะมีส่วนเกินคือ $(a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2)$ เลยทำให้อสมการเป็น > ครับ - -