ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 17: Definite Integral

[warut]

ให้ $f: \mathbb R^+\to \mathbb R^+$ เป็นฟังก์ชันที่มีสมบัติว่า $f(x+1)= xf(x)$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$ และให้ $$a= \int_0^1 \ln f(x) \,dx$$ จงหาค่าของ $$\int_0^n \ln f(x) \,dx$$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ป.ล. ผมเห็นว่าช่วงนี้กำลังฮิตโจทย์ integrate กันเหลือเกิน เลยเอาข้อนี้มาฝากครับ (นี่ก็เป็นโจทย์อีกข้อนึง ที่ผมคิดๆอยู่ว่าจะส่งไปลงในวารสาร) และเพื่อทำให้ข้อนี้เป็นโจทย์ระดับ ม.ปลาย ผมจะให้ข้อมูลเพิ่มเติมต่อไปนี้ไว้ด้วยนะครับ เผื่อมีใครจะต้องใช้ $$\int \ln x\,dx= x\ln x-x+C$$ $$\int_0^1 \ln x \,dx= -1$$

[nooonuii]

ให้ $\displaystyle{ I_n = \int_{0}^{n} \ln{f(x)}dx }$ และ $\displaystyle{ J_n = \int_{n-1}^{n} \ln{f(x)}dx }$
จะได้
$J_1 = I_1 = a$
$J_2 = a-1$
$\displaystyle{ J_n = \int_{n-2}^{n-1}\ln{x} + J_{n-1} = (n-1)\ln{(n-1)} - (n-2)\ln{(n-2)} - 1 +J_{n-1}, \ n\geq 3 }$
ดังนั้น
$\displaystyle{ I_n = J_1 + \cdots + J_n = (n-1)\ln{(n-1)} - (n-2) + I_{n-1} + J_2 , \ n\geq 2 }$
แก้ recurrence relation ได้
$\displaystyle{ I_n = \ln{(1^1 \cdot 2^2 \cdots (n-1)^{n-1})} - \frac{n(n-1)}{2} + na, \ n\geq 2 }$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

ดังนั้น
$\displaystyle{ I_n = J_1 + \cdots + J_n = (n-1)\ln{(n-1)} - (n-2) + I_{n-1} + J_2 , \ n\geq 2 }$

คุณ nooonuii ช่วยอธิบายหน่อยครับ ว่าตรงนี้มันมาได้ยังไง

[nooonuii]

สำหรับ $n\geq 3$ เราได้ว่า
$\displaystyle{ J_n = (n-1)\ln{(n-1)} - (n-2)\ln{(n-2)} - 1 +J_{n-1} } $
$\displaystyle{ J_{n-1} = (n-2)\ln{(n-2)} - (n-3)\ln{(n-3)} - 1 +J_{n-2} } $
:
:
$\displaystyle{ J_3 = 2\ln{2} - 1\ln{1} - 1 +J_{2} } $
$J_2 = J_2$
$J_1 = J_1$

นำทั้งหมดมาบวกกันจะได้
$I_n = (n-1)\ln{(n-1)} - (n-2) + I_{n-1} + J_2$
แต่ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงสำหรับ n=2 ด้วยครับ

เอ่อฟังก์ชันที่มีคุณสมบัตินี้จะหน้าตาเป็นยังไงครับ คุณ Warut ผมยังคิดตัวอย่างไม่ออกเลยครับ

[warut]

อ๋อ... เข้าใจแล้วครับ ผมไปยึดติดกับวิธีคิดของผมเองมากเกินไป จนทำให้มองยังไงก็มองไม่ออกซักที

แต่ผมอยากให้มีใครสักคนมาช่วยแสดงว่าทำไม $$J_n= \int_{n-2}^{n-1} \ln x\,dx +J_{n-1}$$ เพราะตรงนี้เป็นจุดสำคัญ ที่น้องหลายคนอาจตามไม่ทัน (ใช่ไหมครับ ) ใครทำตรงนี้ได้ผมให้ 2 คะแนนครับ ยกเว้นถ้าเป็นคุณ nooonuii ทำเองก็เป็นอันว่าคุณ nooonuii รับคะแนนข้อนี้ไป 5 คะแนนเต็ม ไม่งั้นผมให้คุณ nooonuii แค่ 4 คะแนนละกันนะครับ ฐานขี้เกียจพิมพ์รายละเอียด

และผมมีคะแนนพิเศษให้อีก 1 คะแนน สำหรับคนแรกที่บอกได้ว่า จำนวนที่อยู่ในรูป $$1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n$$ มีชื่อเรียกว่าอะไรครับ

ส่วนเรื่องฟังก์ชันที่คุณ nooonuii ถามถึงนี่ผมเอาต้นแบบมาจาก gamma function $\Gamma(x)$ ที่ restricted domain ให้เหลือแค่จำนวนจริงบวกครับ ถ้าใครยังไม่เคยและอยากคิดเลขเล่น ก็ลองคำนวณหาค่า $$\int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx$$ ดูได้ แต่ไม่มีคะแนนให้นะครับ เพราะเกินหลักสูตร ม.ปลาย มากไป

[nooonuii]

ให้ $u = x-1$ จะได้

$\displaystyle{ J_n = \int_{n-1}^{n} \ln{f(x)}dx }$
$\displaystyle {= \int_{n-2}^{n-1} \ln{f(u+1)}du }$
$\displaystyle{ =\int_{n-2}^{n-1} \ln{[uf(u)]}du }$
$\displaystyle{ = \int_{n-2}^{n-1} \ln{u}du + \int_{n-2}^{n-1} \ln{f(u)}du } $
$\displaystyle{ = \int_{n-2}^{n-1} \ln{u}du + J_{n-1} }$

ขี้เกียจพิมพ์น่ะครับ แหะแหะ

ว่าแล้วเชียวว่า functional equation ตัวนี้มันคุ้นๆ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ warut:
จำนวนที่อยู่ในรูป $$1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n$$ มีชื่อเรียกว่า...

Hyperfactorial
เจอจากการค้นจากที่นี่

[warut]

เห็นม้า... คุณ nooonuii ผมว่าแล้ว... คนส่วนใหญ่ยังไม่ "get" ตรงจุดนั้นหรอกครับ ไม่งั้นคุณ nooonuii คงไม่มีโอกาสได้กลับมาเก็บ spare ทันแน่

ส่วนที่คุณ nongtum ตอบมาว่า hyperfactorial นั่นก็เป็นคำตอบที่ถูกต้องแล้วครับ เรื่องค้นข้อมูลนี่เสร็จคุณ nongtum ทุกทีเลย

ครับ... ตามสัญญา ข้อนี้คุณ nooonuii รับไป 5 คะแนน และคุณ nongtum รับไป 1 คะแนน

ทำไปทำมาเหลือเราเล่นกันอยู่ 3 คน 555

วิธีที่ผมทำข้อนี้ ก็คล้ายกับที่คุณ nooonuii ทำนั่นแหละครับ ต่างกันตรงที่ผมหา $J_n$ ออกมาก่อน

$J_1= a$
$J_2= -1+a$
$J_3= 2\ln2 -1\ln1 -1+ J_2 =2\ln2-2 +a$
$J_4= 3\ln3 -2\ln2 -1+ J_3= 3\ln3-3 +a$
$J_5= 4\ln4 -3\ln3 -1+ J_4= 4\ln4-4 +a$
$\vdots$
$J_n= (n-1)\ln (n-1) -(n-1)+a$

แล้วเราก็จะหา $I_n= J_1+ J_2+ \dots +J_n$ ออกมาได้อย่างง่ายดายครับ

ส่วน hint สำหรับการหา $\int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx$ ให้ใช้ความจริงที่ว่า $$\int_0^1 f(x) \,dx= \lim_{n \to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^{n} f \left( \frac kn \right)$$ ครับ

[warut]

ผมขอใช้โอกาสนี้อธิบาย รายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับการใช้ LaTeX ในการพิมพ์ integral นะครับ

เพื่อการเว้นช่องไฟที่ถูกต้อง ให้ใส่ \, ไว้หน้า dx เช่น \int \sin x \, dx ซึ่งจะทำให้เห็นเป็น $$\int \sin x \, dx$$ จะเห็นว่าผลลัพธ์ที่ได้ จะดูสวยงามกว่าถ้าเราเขียนแค่ \int \sin x dx ซึ่งจะเห็นเป็น $$\int \sin x dx$$ อันนี้ผมเอามาจากหนังสือ "Math into LaTeX" ที่บางคนว่าเป็น Bible ของ LaTeX เลยนะ แต่บางคนก็บอกว่าไม่ได้เรื่อง เวลาผมไปถามใครเกี่ยวกับการใช้ LaTeX (แบบที่ไม่ simple นัก) ก็มักไม่ค่อยได้คำตอบ แถมยังไล่ให้ผมไปซื้อหนังสือเล่มนี้อีก ในที่สุดก็ต้องยอมเสียเงินซื้อ รวมกับค่าส่งแล้วก็ประมาณ US$39 แน่ะครับ

[Mastermander]

$$\int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx$$

เฉลยหน่อยครับ

[warut]

จากที่บอกไว้ข้างต้น เราจึงได้ว่า $$ \int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx= \lim_{n \to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\Gamma \left( \frac kn \right) $$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac1n \ln \left( \Gamma \left( \frac1n \right) \Gamma \left( \frac2n \right) \dots \Gamma \left( \frac{n-1}{n} \right) \right) $$ ต่อไปเราจะใช้ความจริงที่ว่า ถ้า $0<a<1$ แล้ว $$ \Gamma (a) \Gamma (1-a) = \frac{\pi}{\sin a \pi}$$ ดังนั้น $$ \left( \Gamma \left( \frac1n \right) \Gamma \left( \frac2n \right) \dots \Gamma \left( \frac{n-1}{n} \right) \right)^2 $$ $$= \frac{\pi^{n-1}}{\sin \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n} \dots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} } $$ แต่เราทราบว่า $$ \sin \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n} \dots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} $$ ดังนั้น $$ \int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx= \lim_{n \to \infty} \frac1n \ln \frac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{\sqrt n}$$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)}{2n} \ln 2\pi - \frac{\ln n}{2n} = \frac12 \ln 2\pi $$ ครับผม