tangent plane

[suan123]

how to find the equation of a tangent plane to the surface x^2 + 3y^2 - 2z^2 = 5 at the point (2,-1,1) by using directional derivertive?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

how to find the equation of a tangent plane to the surface x^2 + 3y^2 - 2z^2 = 5 at the point (2,-1,1) by using directional derivertive?

The surface $x^2+3y^2-2z^2=5$ can be viewed as the image of the function $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ defined by $F(x,y)=(x,y,\sqrt{\dfrac{1}{2}(x^2+3y^2-5)})$
Then we can find the directional derivative with respect to $v\in\mathbb{R}^2$ of $F$ at $a=(2,-1)$ by
$$D_vF(a)=\lim_{t\to 0}\frac{F(a+tv)-F(a)}{t}$$
Let $L_a=\{D_vF(a)\in\mathbb{R}^3 : v\in\mathbb{R}^2\}$
Then the tangent plane to the surface at a point $F(a)=(2,-1,1)$ is defined by $$L_a+F(a)$$
I will leave the rest for you.

If I understand everything right, the tangent plane is
$$T=\{(x,y,z) : 2x-3y-2z=5\}.$$
But I get this by using another method.

[putmusic]

อ่านไม่ออกง่า เขียนเป็นไทยไม่ได้เลยเหรอครับ

[nooonuii]

ลองทำดูแล้วได้ตรงกับคำตอบที่ผมคำนวณไว้ตอนแรกครับ

ป.ล. ตอนแรกผมใช้วิธีคำนวณจาก gradient ของฟังก์ชัน $F(x,y,z)=x^2+3y^2-5z^2$ ครับ

[Punk]

(Reference: Calculus, Multivariable; James Stewart บทที่ 15.6)

พื้นผิว $x^2+3y^2-2z^2=5$ ที่จุด $(2,-1,1)$ สามารถมองเป็น level surface ของฟังก์ชัน $F(x,y,z)=x^2+3y^2-2z^2$ (กล่าวคือ $F(x,y,z)=5$) ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉากกับพิ้นผิว $x^2+3y^2-2z^2=5$ เท่ากับ gradient ของ $F$

คำนวณหา $\nabla F$ ได้ดังนี้
\[
\nabla F=\langle F_x,F_y,F_z\rangle=\langle 4,-6,-4\rangle
\]
ดังนั้นเวกเตอร์ตั้งฉาก กับพื้นผิว $x^2+3y^2-2z^2=5$ ณ จุด $(2,-1,1)$ เท่ากับ $\langle4,-6,-4\rangle$

สมการพื้นผิวสัมผัส ณ จุด $(2,-1,1)$ เท่ากับ $4(x-2)-6(y+1)-4(z-1)=0$