โจทย์สนุกๆ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#29 8. $2$
9. น่าจะเป็น $7a+3b+\frac{3}{2}c$

โจทย์ถูกแล้วครับ แล้วก็ข้อ 8 ก็ผิดครับ

ช่วยแสดงวิธีทำก่อนจะตอบด้วยนะครับ ผมจะได้เช็คถูก

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

8.กำหนด $(x+\dfrac{1}{x})^2 = 1 $ จงหาค่าของ $x^{2011}+\dfrac{1}{x^{2011}}$ (ในส่วนของจำนวนบวก)

ให้ $S_n=x^n+\frac{1}{x^n}$ ดูครับ จะได้ความสัมพันธ์ $S_{n+1}=S_nS_1-S_{n-1}$

ถ้าพูดถึงจำนวนจริงบวกก็ขอ assume ไปที่ $S_1=1$ เลยละกัน ($S_2=-1$)

(ถ้า $S_1$ ติดลบก็จะทำให้ $S_{2011}$ ติดลบไปด้วย)

ความสัมพันธ์ข้างต้นจะกลายเป็น $S_{n+1}=S_n-S_{n-1}$ หรือก็คือ $S_n=S_{n+1}+S_{n-1}$

เราก็จะสร้างลำดับ $\left\{\,S_n\right\}$ ได้โดยง่ายเป็น

$1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,...$

สังเกตว่าจะซ้ำกันไปเรื่อยๆที่ชุดละ 6 ตัว

พิจารณา $2011 \equiv 1 (mod 6)$ แสดงว่า $S_{2011}=1$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

9.กำหนด $a,b,c \in \mathbb{R} $, $p(x) = ax^2+bx+c$ ถ้า $[p(x)]^5-x$ มี $x^3-6x^2+11x-6$ เป็นตัวประกอบ แล้ว $7a+3b+2c$ เท่ากับเท่าใด

$[p(x)]^5-x=(x^3-6x^2+11x-6)(q(x))$
เมื่อ $x= 1$ จะได้ว่า $(a+b+c)^5=1\rightarrow a+b+c=1...(1)$
เมื่อ $x= 2$ จะได้ว่า $(4a+2b+c)^5=2 \rightarrow 4a+2b+c=\sqrt[5]{2}...(2)$
เมื่อ $x= 3$ จะได้ว่า $(9a+3b+c)^5=3\rightarrow 9a+3b+c=\sqrt[5]{3}...(3)$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$[p(x)]^5-x=(x^3-6x^2+11x-6)(q(x))$
เมื่อ $x= 1$ จะได้ว่า $(a+b+c)^5=1\rightarrow a+b+c=1...(1)$
เมื่อ $x= 2$ จะได้ว่า $(4a+2b+c)^5=2 \rightarrow 4a+2b+c=\sqrt[5]{2}...(2)$
เมื่อ $x= 3$ จะได้ว่า $(9a+3b+c)^5=3\rightarrow 9a+3b+c=\sqrt[5]{3}...(3)$

ก็แก้สมการมาสิครับ

[Metamorphosis]

ข้อ 11 ให้ $x,y \in \mathbb{R} $ จงแก้สมการ

$x^3-y^3 = 7(x-y)$
$x^3+y^3 = 5(x+y)$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ข้อ 11 ให้ $x,y \in \mathbb{R} $ จงแก้สมการ

$$x^3-y^3 = 7(x-y)...(1)$$
$$x^3+y^3 = 5(x+y)...(2)$$

My_Sol

$(x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0..(1)$
$(x+y)(x^2-xy+y^2-5)=0...(2)$
จาก $(1)$ กรณีที่ $x=y$ เเทนลงใน $(2)$
$2x\cdot(x^2-x^2+x^2-5)=0\rightarrow x=0,\pm \sqrt{5}$ $\therefore (x,y)=(0,0),(\pm \sqrt{5},\pm \sqrt{5})$
เเละ $(2)$ กรณีที่ $x+y=0\rightarrow y=-x$ เเทนลงใน $(1)$
$(-2y)(y^2-y^2+y^2-7)=0\rightarrow y=0,\pm \sqrt{7}$ $\therefore (x,y)=(0,0),(\sqrt{7},-\sqrt{7}),(-\sqrt{7},\sqrt{7})$
กรณี่ที่ $x+y,x-y \not=0$ $\rightarrow x=\frac{\sqrt{10}\pm\sqrt{2}}{2},y=\frac{\sqrt{10}\pm\sqrt{2}}{2}$
เเละจากทั้ง 3 กรณทีทำให้ได้ว่า $(x,y)=(0,0),(\sqrt{5}, \sqrt{5}),(-\sqrt{5},-\sqrt{5}),(\sqrt{7},-\sqrt{7}),(-\sqrt{7},\sqrt{7}),(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2})$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

My_Sol

$(x-y)(x^2+xy+y^2-7)=0..(1)$
$(x+y)(x^2-xy+y^2-5)=0...(2)$
จาก $(1)$ กรณีที่ $x=y$ เเทนลงใน $(2)$
$2x\cdot(x^2-x^2+x^2-5)=0\rightarrow x=0,\pm \sqrt{5}$ $\therefore (x,y)=(0,0),(\pm \sqrt{5},\pm \sqrt{5})$
เเละ $(2)$ กรณีที่ $x+y=0\rightarrow y=-x$ เเทนลงใน $(1)$
$(-2y)(y^2-y^2+y^2-7)=0\rightarrow y=0,\pm \sqrt{7}$ $\therefore (x,y)=(0,0),(\sqrt{7},-\sqrt{7}),(-\sqrt{7},\sqrt{7})$
กรณี่ที่ $x+y,x-y \not=0$ $\rightarrow x=\frac{\sqrt{10}\pm\sqrt{2}}{2},y=\frac{\sqrt{10}\pm\sqrt{2}}{2}$
เเละจากทั้ง 3 กรณทีทำให้ได้ว่า $(x,y)=(0,0),(\sqrt{5}, \sqrt{5}),(-\sqrt{5},-\sqrt{5}),(\sqrt{7},-\sqrt{7}),(-\sqrt{7},\sqrt{7}),(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2})$

ตรงนี้มายังไงหรอครับ

[Keehlzver]

ขออภัยในความสะเพร่าของผมเองที่อ่านโจทย์ไม่ละเอียด ที่ผมทำไปทำภายใต้เงื่อนไขต้องมีรากจริงอย่างน้อย 1 ราก ไม่ได้อ่านให้ละเอียดว่าโจทย์ต้องการรากจริงทั้งหมด

สรุปว่าต้องทำต่อไปอีกคือ จาก $(x^2+5x+5)^2=k+1$ จัดรูปต่อจะได้ $(x^2+5x+5-\sqrt{k+1})(x^2+5x+5+\sqrt{k+1})=0$
สมการนี้จะมีรากจริงทั้งสี่รากได้ก็ต่อเมื่อ Discreminant ของสมการกำลังสองทั้งสองวงลบไม่ติดลบ จะได้ว่า $-1\leq k \leq \frac{9}{16}$

ผิดถูกยังไงขอให้ชี้แนะด้วยครับ

[จูกัดเหลียง]

#37 คิดเลขผิดครับ = =" ขออภัย

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ขออภัยในความสะเพร่าของผมเองที่อ่านโจทย์ไม่ละเอียด ที่ผมทำไปทำภายใต้เงื่อนไขต้องมีรากจริงอย่างน้อย 1 ราก ไม่ได้อ่านให้ละเอียดว่าโจทย์ต้องการรากจริงทั้งหมด

สรุปว่าต้องทำต่อไปอีกคือ จาก $(x^2+5x+5)^2=k+1$ จัดรูปต่อจะได้ $(x^2+5x+5-\sqrt{k+1})(x^2+5x+5+\sqrt{k+1})=0$
สมการนี้จะมีรากจริงทั้งสี่รากได้ก็ต่อเมื่อ Discreminant ของสมการกำลังสองทั้งสองวงลบไม่ติดลบ จะได้ว่า $-1\leq k \leq \frac{9}{16}$

ผิดถูกยังไงขอให้ชี้แนะด้วยครับ

Correct !