FE จาก TMO ครั้งที่ 9

[polsk133]

จงหาฟังก์ชัน $f:R-->R$ ทั้งหมดซึ่ง $f(f(x)+xf(y))=3f(x)+4xy$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$

คือผมได้แล้วว่า

f 1-1 onto
f(0)=1
f(1)=3
f(4)=9
f(6)=13
ซึ่งมันก็น่าจะเป็น f(x)=2x+1
คือมันมีวิธีแบบไม่ต้องเดา f(x) ไหมครับ แล้วถ้าใช้วิธีเดาแล้วพิสูจน์ว่าจริงจะได้คะแนนไหมครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า f เป็น injective+bijective

แทน y=0 และให้ $f(0)=m$ ดังนั้น $f(f(x)+xm)=3f(x)$---1 แทน $(x,y)=(m,\dfrac{-3}{2})$

$f(3m+mf(\dfrac{-3}{2}))=3m=f(m)$ จาก f เป็น bijective จะได้ว่า $f(\dfrac{-3}{2})=-2$ แทน $(x,y)=(x,\dfrac{-3}{2})$ ได้

$f(f(x)-2x)=3(f(x)-2x)$ และจาก f เป็น bijective จะได้ว่า ทุกๆจำนวนจริง x จะมีจำนวนจริง z ที่ทำให้ $f(z)=f(x)-2x$ แทนลงในสมการได้

$f(f(z))=3f(z)$ แทนลง $(x,y)=(z,m)$ ลงใน 1 ก็จะได้ $f(f(z)+zm)=3f(z)=f(f(z))$ ดังนั้น $mz=0$

ต่อไปจะแสดงว่า $m \not= 0$ เพราะถ้า $m=0$ จะได้ $f(x)=3x$ (จาก f เป็น bijective) ซึ่งไม่สอดคล้องดังนั้น $z=0$

$f(x)=2x+f(0)$ แก้หา $f(0)$ ออกมากได้

$f(x)=2x+1$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

พิสูจน์ได้โดยง่ายว่า f เป็น injective+bijective

แทน y=0 และให้ $f(0)=m$ ดังนั้น $f(f(x)+xm)=3f(x)$---1 แทน $(x,y)=(m,\dfrac{-3}{2})$

$f(3m+mf(\dfrac{-3}{2}))=3m=f(m)$ จาก f เป็น bijective จะได้ว่า $f(\dfrac{-3}{2})=-2$ แทน $(x,y)=(x,\dfrac{-3}{2})$ ได้

$f(f(x)-2x)=3(f(x)-2x)$ และจาก f เป็น bijective จะได้ว่า ทุกๆจำนวนจริง x จะมีจำนวนจริง z ที่ทำให้ $f(z)=f(x)-2x$ แทนลงในสมการได้

$f(f(z))=3f(z)$ แทนลง $(x,y)=(z,m)$ ลงใน 1 ก็จะได้ $f(f(z)+zm)=3f(z)=f(f(z))$ ดังนั้น $mz=0$

ต่อไปจะแสดงว่า $m \not= 0$ เพราะถ้า $m=0$ จะได้ $f(x)=3x$ (จาก f เป็น bijective) ซึ่งไม่สอดคล้องดังนั้น $z=0$

$f(x)=2x+f(0)$ แก้หา $f(0)$ ออกมากได้

$f(x)=2x+1$

มาได้ไงหรอครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

แทน x เป็น 0 สิครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อนี้โหดมากเลยครับ