Marathon - Primary # 1

[เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง]

ผมคิดได้ 3.5325 อ่ะครับไม่รู้ถูกรึเปล่า

(มาจากพื้นที่ของ 1/4 ของวงกลม - พื้นที่สีขาวที่พื้นที่แรเงาซ้อนทับกัน(เนื่องจากพื้นที่แรเงา+พื้นที่สีขาวด้านล่างขวา=พื้นที่1/4ของวงกลม))

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

วันนี้ดูเงียบๆ งั้นขอตั้งโจทย์ต่อแล้วกัน

จงหาพื้นที่แรเงา

พื้นที่แรเงา = พื้นที่สามเหลี่ยม OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

แล้วข้อนี้หาเลขโดดตัวที่เหลือยังไง รบกวนแสดงให้ดูด้วยครับ

นั่นสิเราก็ไม่รู้เหมือนกัน

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง

ผมคิดได้ 3.5325 อ่ะครับไม่รู้ถูกรึเปล่า

(มาจากพื้นที่ของ 1/4 ของวงกลม - พื้นที่สีขาวที่พื้นที่แรเงาซ้อนทับกัน(เนื่องจากพื้นที่แรเงา+พื้นที่สีขาวด้านล่างขวา=พื้นที่1/4ของวงกลม))

คำตอบคือ 4.5 ตามที่คุณ nong_jae บอกไว้ครับ

[เทพแห่งคณิตศาสตร์ตัวจริง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

พื้นที่แรเงา = พื้นที่สามเหลี่ยม OAB = $\frac{1}{2}\times{3}\times{3}= 4.5$

อ๋อ จริงด้วยครับ พื้นที่มันเท่ากับสามเหลี่ยม แค่มาซ้อนทับพื้นที่สีขาว

ทำไมผมคิดไม่ถึงนะ

[JSompis]

งั้นเอาไปลองอีกข้อ

ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส 6x6 OEF เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก OE=8, OF=6 จงหาพื้นที่แรเงา

[banker]

เห็บปุ๊บตอบปั๊บ $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

เห็บปุ๊บตอบปั๊บ $\frac{1}{2} \times 6\times 8 - \frac{1}{4}(6\times 6) = 15$

ท่าน banker ตั้งโจทย์บ้างซิครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

นั่นสิเราก็ไม่รู้เหมือนกัน

แล้วคุณ"น้อง_แจ้" ตอบได้อย่างไรครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ท่าน banker ตั้งโจทย์บ้างซิครับ

มาแล้วครับ เป็นโจทย์ติวหลานเมื่อสองวันก่อน ไม่แน่ใจวิธีทำ

ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยครับ


ถังใบหนึ่ง มีท่อไขน้ำเข้าหนึ่งท่อ และที่ก้นถังมีท่อน้ำไหลออกอยู่หลายท่อ ทุกท่อมีขนาดเท่ากัน
ปรากฎกว่าเมื่อน้ำเต็มถัง เปิดท่อน้ำไหลเข้าพร้อมกับเปิดท่อก้นถัง 10 ท่อ น้ำจะหมดถังใน 20 นาที
แต่ถ้าเปิดท่อน้ำเข้าพร้อมกับท่อน้ำออกก้นถัง 8 ท่อ น้ำจะออกหมดถังใน 35 นาที

จงหาว่าถ้าเปิดท่อน้ำเข้าพร้อมกับเปิดท่อน้ำออก 12 ท่อ น้ำจะหมดถังในเวลากี่นาที

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มาแล้วครับ เป็นโจทย์ติวหลานเมื่อสองวันก่อน ไม่แน่ใจวิธีทำ

ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยครับ


ถังใบหนึ่ง มีท่อไขน้ำเข้าหนึ่งท่อ และที่ก้นถังมีท่อน้ำไหลออกอยู่หลายท่อ ทุกท่อมีขนาดเท่ากัน
ปรากฎกว่าเมื่อน้ำเต็มถัง เปิดท่อน้ำไหลเข้าพร้อมกับเปิดท่อก้นถัง 10 ท่อ น้ำจะหมดถังใน 20 นาที
แต่ถ้าเปิดท่อน้ำเข้าพร้อมกับท่อน้ำออกก้นถัง 8 ท่อ น้ำจะออกหมดถังใน 35 นาที

จงหาว่าถ้าเปิดท่อน้ำเข้าพร้อมกับเปิดท่อน้ำออก 12 ท่อ น้ำจะหมดถังในเวลากี่นาที

$ให้ท่อน้ำเข้ามีอัตรางาน = x$
$ให้ท่อน้ำออกมีอัตรางาน = y$

$1 = 20(10y - x)....1$
$1 = 35(8y - x)......2$

$1=2$
$200y - 20x = 280y - 35x$
$15x = 80y$
$x = \frac{80y}{15}....3$

แทนค่า x ใน 1
$1 = 200y - 20(\frac{80y}{15})$
$y = \frac{3}{280}$

แทนค่า y ใน 3:
$x = \frac{2}{35}$

$1 = (เวลาน้ำหมด)(12y - x)$
$1 = (เวลาน้ำหมด)(\frac{36}{280} - \frac{2}{35})$
$\therefore น้ำจะหมดถังในเวลา 14 นาที$

[banker]

ถูกต้องครับ เชิญตั้งข้อต่อไปครับ

[กิตติ]

ขออ้างอิงถึงข้อนี้หน่อยครับ เพราะผมเป็นคนคิดมาก และค่อนข้างจะฟุ้งซ่านมากๆ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

รบกวนถามหน่อยครับ สงสัยเพราะผมคิดได้ 1 แต่ดูรูปแบบมันไม่น่าจะใช่


ผมคิดแบบนี้ครับ
ให้วงกลมเล็กรัศมี r ดังนั้นวงกลมใหญ่รัศมี 2r
$a + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{4}4r^2 - \frac{\pi}{2}r^2$
$b + c = \frac{\pi}{2}r^2$
$\therefore a = b , \frac{a}{b} = 1$

เพราะคิดเอาว่าเหมือนเอาจุดตัดของวงกลมเล็กสองวงนั้นลากมายังจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองแล้วตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมทั้ง สองรูป ตามที่แนบรูปมาให้ดู เมื่อ$m$และ$n$เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสองวง ซึ่งดูในรูปแล้วมันไม่น่าจะใช่



ผมก็เลยลองสมมุติให้เป็นตามรูปที่สอง ให้$m$และ$n$เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสองวง และจุดตัดวงกลมทั้งสองคือจุด$S$ เกิดสามเหลี่ยมสองรูปที่มีด้านร่วมกัน กลายเป็นสี่เหลี่ยม $mnOS$



สมาเหลี่ยมที่มีด้านร่วมกันคือ$nOS$และ$mOS$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยมีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากับรัศมีวงกลม ให้เท่ากับ$r$ ตอนแรกกะจะหาความยาวของด้าน$OS$แต่ติดที่ไม่รู้มุมเลย ก็ต้องเก็บไปก่อน เลยหยิบเรื่องมุมมาดู. เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมที่ฐานเท่ากัน ให้เท่ากับ$x$และ$y$ตามรูป จากความรู้เรื่องของมุมตรงข้ามภายในสี่เหลี่ยม จะทำให้ได้ว่า$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ และจากความรู้เรื่องมุมภายในของสี่เหลี่ยมด้านเดียวกันรวมกันได้$180$ จะได้ว่ามุมยอดทั้งสองเป็นมุม$90$.....เลยทำให้ได้วิธีตามที่เฉลย
ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกไหมครับ....ผมคิดมากขนาดสมมุติมุมโน่นมุมนี่จนต้องใช้สูตรหามุมบวกมุมลบของตรีโกณ แต่คิดว่าคำถามของระดับประถมน่าจะไม่ถึงขนาดนั้น.....ช่วยผมดูหน่อยครับว่าใช่อย่างที่ผมพิสูจน์หรือเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ขออ้างอิงถึงข้อนี้หน่อยครับ เพราะผมเป็นคนคิดมาก และค่อนข้างจะฟุ้งซ่านมากๆ

เพราะคิดเอาว่าเหมือนเอาจุดตัดของวงกลมเล็กสองวงนั้นลากมายังจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองแล้วตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมทั้ง สองรูป ตามที่แนบรูปมาให้ดู เมื่อ$m$และ$n$เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสองวง ซึ่งดูในรูปแล้วมันไม่น่าจะใช่



ผมก็เลยลองสมมุติให้เป็นตามรูปที่สอง ให้$m$และ$n$เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสองวง และจุดตัดวงกลมทั้งสองคือจุด$Q$ เกิดสามเหลี่ยมสองรูปที่มีด้านร่วมกัน กลายเป็นสี่เหลี่ยม $mnOQ$



สมาเหลี่ยมที่มีด้านร่วมกันคือ$nOQ$และ$mOQ$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยมีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากับรัศมีวงกลม ให้เท่ากับ$r$ ตอนแรกกะจะหาความยาวของด้าน$OQ$แต่ติดที่ไม่รู้มุมเลย ก็ต้องเก็บไปก่อน เลยหยิบเรื่องมุมมาดู. เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมที่ฐานเท่ากัน ให้เท่ากับ$x$และ$y$ตามรูป จากความรู้เรื่องของมุมตรงข้ามภายในสี่เหลี่ยม จะทำให้ได้ว่า$(x+y)+(x+y) =180$ $\rightarrow x+y =90$ และจากความรู้เรื่องมุมภายในของสี่เหลี่ยมด้านเดียวกันรวมกันได้$180$ จะได้ว่ามุมยอดทั้งสองเป็นมุม$90$.....เลยทำให้ได้วิธีตามที่เฉลย
ไม่รู้ว่าผมเข้าใจถูกไหมครับ....ผมคิดมากขนาดสมมุติมุมโน่นมุมนี่จนต้องใช้สูตรหามุมบวกมุมลบของตรีโกณ แต่คิดว่าคำถามของระดับประถมน่าจะไม่ถึงขนาดนั้น.....ช่วยผมดูหน่อยครับว่าใช่อย่างที่ผมพิสูจน์หรือเปล่าครับ

ต้องขอโทษคุณกิตตินะครับ ผมยังมีนๆอยู่ ก้เลยไม่เข้าใจว่าคุณกิตติต้องการพิสูจน์อะไร

รูปข้างต้น ดูเหมือนจะไม่ได้สัดส่วนเท่าไร ลองใช้วงเวียนวาดดูใหม่ดีไหมครับ

ผมลองวาดรูปใหม่ตามscale ด้วยวงเวียน

[กิตติ]

ผมสมมุติจุดตัดวงกลมเป็น$S$แล้วกัน เพราะในรูปที่จุด$Q$อยู่แล้ว
คือตามวิธีที่เฉลย เป็นการสรุปโดยคิดตามรูปแรก คือเส้นตรงที่ลากจากจุด$S$ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม คือ $Sm$นั้นตั้งฉากกับ$OQ$และ$Sn$จะตั้งฉากกับ$OP$ เรารู้ได้ยังไงครับว่าจะเป็นแบบนั้น ผมก็เลยสมมุติรูปที่สองดู แล้วมันก็ตอบได้ว่าสี่เหลี่ยม$OQmn$เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ผมงงตั้งแต่ตอนเฉลยว่าทำไมคิดเป็นสี่เหลี่ยมจ้ตุรัสเลยตั้งแต่แรกเลย รู้ได้ไง...เพราะดูจากรูปแล้วมันไม่น่าจะใช่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ใช่ตามที่คุณอาbankerวาดให้ดูแหละครับ...ถ้าภาพเป็นอย่างที่วาดก็คงไม่ทำให้เกิดความสงสัยอย่างที่ผมสงสัยครับ