สสวท.คณิตศาสตร์ 2550

[warutT]

พี่ๆช่วยดูให้หน่อยครับ ข้อ4 ตอน 2

ผมทำอย่างนี้ จาก xy+x+y = 71
และ xy^2+x^2y=880
ให้ a=x+y b=xy
จะได้ a+b=71 ...(1)
ab=880 ...(2)
หา a^2-2b
จาก(1) b=71-a ...(3)
แทน(3)ใน(2)
a(71-a)=880
a^2-71a+880=0
(a-55)(a-16)=0
a=55,16
แทนค่า a ใน (3) จะได้ a=55,b=16 และ a=16,b=55
จะได้ a^2-2b=2993,146 แต่พี่บางคนบอกว่า 146 อย่างเดียว ทำไมครับช่วยอธิบายหน่อยครับ

[Mathophile]

เพราะกรณีที่ $a=55,b=16$ ทำให้ $x,y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มบวกครับ (ตามที่โจทย์กำหนด)
ฉะนั้น 2993 จึงใช้ไม่ได้ครับ

[warutT]

ข้อ 2 ครับ (60)^a=3 (60)^b=5
หา (12)^1-a-b/2(1-b)

จาก (60)^a=3 (60)^b=5 จะได้ a=log3 ฐาน 60 และ b=log5 ฐาน 60

พิจารณา 1-a-b=1-log3 ฐาน 60 -log5 ฐาน 60 =log60/(3*5) ฐาน 60 =2log2 ฐาน 60

2(1-b)=2(1-log5 ฐาน 60)=2(log60/5 ฐาน 60)=2log12 ฐาน 60

1-a-b/2(1-b) = 2log2 ฐาน 60/2log12 ฐาน 60 = log2 ฐาน 12

จะได้ว่า (12)^1-a-b/2(1-b)= 12^log2 ฐาน 12 =2

[jabza]

ตอน2 ข้อ6. ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มสอดคล้องกับ
รากที่3ของa+รากที่3ของb ทั้งหมดยกกำลังสอง=49+20(รากที่3ของ6) ค่าของa+b=เท่าไร.พี่nooonuii ตอบa=288; b=48 ผมแทนค่าแล้วได้ถูกแล้ว. . โอ้ทำได้แล้ว

[warutT]

ข้อ 13 ตอน 2 ครับ

logsinx+logcosx+1=0 ...(1)

log(sinx+cosx)=1/2(logn-1) ...(2)
หา n

from (1) ; logsinxcosx=-1
sinxcosx=1/10

from (2) ; log(sinx+cosx)^2=logn-1
log(1+2sinxcosx)=logn-1
log(1+1/5)+log10=logn
log(6/5 * 10)=logn
log12=logn

\therefore n=12

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ตอนที่2
9)$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy-50,f(1)=5\rightarrow f(101)=?$
$f(n)=f(n-1)+f(1)+(1)(n-1)-50=f(n-2)+2f(1)+(1)((n-2)+(n-1))-2(50)=...=5n+\dfrac{(n-100)(n-1)}{2}$
$\therefore f(101)=5(101)+\dfrac{(1)(100)}{2}=555$ ข้อนี้ถึงคำตอบจะขำแต่คนที่คิดไม่ออกอาจจะไม่ขำนะครับ
10)$\displaystyle{\left(a-\frac{1}{c}\right)\left(b-\frac{1}{a}\right)\left(c-\frac{1}{b}\right)=\frac{(abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)-1}{abc}=n}$
$\displaystyle{\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=1}$ at this point let consider $\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}$ where $\displaystyle{\frac{1}{6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{(2)(3)(5)}}$
$\therefore a^2+b^2+c^2=4+9+25=38$

ข้อ9 ตอนที่2 สรุป ตรงที่$5n+\dfrac{(n-100)(n-1)}{2}$ ผมไม่เข้าใจช่วย อธิบายทีคับ ว่ามันมาได้อย่างไงอะ

[warutT]

ตอน 2 ข้อ 1

จาก a4+a7+a10=17

จะได้ a+a+a+3d+6d+9d=17

3a+18d=17

a+6d=17/3 ...(1)

จาก a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14=77

a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)d=77

11a+88d=77

a+8d=7 ...(2)

from (2) - (1)

2d=4/3 ; d=2/3

Substituting d=2/3 into (2)

a+8*2/3=7

a+16/3=7

a=5/3

from a n=13

a+(n-1)d=13

5/3+(n-1)*2/3=13

n-1=34/3*3/2

n=18

1+3+5+...+(2n-1)= n^2=18^2=324

a+a2+a3+...+an=a+a2+a3+77+a15+a16+a17+13

=a+a+a+a+a+a+(1+2+14+15+16)d+13+77=6a+48d+90=10+32+90=132

324/132=27/11=r/s ;(r,s)=1;r=27 s=11;r+s=38#

[warutT]

อยากได้วิธีทำข้อ 15 ครับ ใครทำได้บ้าง

[Brownian]

ผมอยากได้ข้อสอบฉบับสแกนอ่ะครับ มีใครมีมั้ยครับ เอาลงให้หน่อย

โทดทีคับ ผมลืมดู

[Anonymous314]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warutT

อยากได้วิธีทำข้อ 15 ครับ ใครทำได้บ้าง

ลองแทน $y=0$ กับ $y=1$ ก็น่าจะเห็นแล้วนี่ครับ ได้ $f(x)=0$ ครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อ 15 วิธีของผมนะครับแทน $y=0$ ลงในสมการแรกเราจะได้ว่า $f(x)=f(sin\frac{x\pi}{2})$ ใช่ไหมหละครับดังนั้น $f(x)=f(sin\frac{x\pi}{2})f(y)=f(sin\frac{y\pi}{2})$
เราได้ว่า $f(x)+f(y)=f(x+y)$ ก็จากตรงนี้จะได้ $f(x)=cx$ ซึ่งเอาไปแทนในอีกฟังก์ชั่นเราได้ว่า $c=0$ ครับ

ส่วนไอ้ตรงนี้ " $f(x)+f(y)=f(x+y)$ ก็จากตรงนี้จะได้ $f(x)=cx$ " ส่วนตัวแล้วผมคิดว่ามันดูแย่ๆยังไงไม่รู้ถ้าใครมีวิธีที่ดีกว่านี้ก็บอกได้นะครับ :-) (ดีนะเนี่ยที่เป็นเติมคำตอบ)

[jabza]

ข้อ9.ตอน2ผมทำได้แล้ว.