มันเป็นไปได้อย่างไร ใครก็ได้ มาช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[Paragon]

โจทย์ข้อนี้ ผมไม่ได้ไปเอามาจากที่ไหนครับ บังเอิญ วันหนึ่งผมสงสัยขึ้นมา จึงมานั่งลองคิดดู ปรากฏว่า แปลกมากๆครับ ใครก็ได้ ช่วยบอกผมหน่อยครับว่า ผมคิดถูกหรือไม่ (ผมอยู่แค่ ม.4 เองครับ ความรู้ผมยังไม่ค่อยแข็งแกร่งนัก ฉะนั้น ถ้าผมปล่อยไก่อะไรออกไป ก็ขอโทษด้วยนะครับ )

กำหนดให้ $y = \frac{1}{x^0}+x^0+\frac{1}{x^1}+x^1+\frac{1}{x^2}+x^2+\frac{1}{x^3}+x^3+... โดยที่ x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0$... (1)

นำสมการ $(1)\times x$ เราจะได้ว่า
$xy = \frac{x}{x^0}+x^1+\frac{x}{x^1}+x^2+\frac{x}{x^2}+x^3+\frac{x}{x^3}+x^4+... โดยที่ x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0$
$xy = x+x+1+x^2+\frac{1}{x^1}+x^3+\frac{1}{x^2}+x^4+... โดยที่ x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0$...(2)

(2) - (1) ;
$xy-y= x-1$
$y(x-1)=x-1$
$y=1$

นั่นแสดงว่า จำนวนใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 เมื่อไปแทนใน x ดังสมการที่ (1) จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ?
ในขณะเดียวกัน จากสมการ (2)-(1) จะเห็นว่า เมื่อนำ x-1 ไปหาร จะได้ว่า x ต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย
ฉะนั้น $\frac{1}{x^0}+x^0+\frac{1}{x^1}+x^1+\frac{1}{x^2}+x^2+\frac{1}{x^3}+x^3+...=1 โดยที่ x เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0,1$ !?

[[SIL]]

มาจากสูตรอนุกรมอนันต์ของลำดับเรขาคณิตหรือเปล่าครับ แต่ผมว่าคงใช้สูตรดังกล่าหาค่าไม่ได้เพราะว่ามี r =1 จึงต้องแยกคิดเป็น 2 ส่วนกระมังคือสวนที่อยู่บนบกและส่วนที่อยู่ใต้น้ำ แต่ปัญหาก็เกิดขึ้นอีกเพราะส่วนในน้ำเราน่าจะได้ 0 ส่วนที่อยู่บนบกเราได้อินฟินิตี้ งง เอิ๊กๆ

ผมว่าบรรทัดที่ 2 อ่ะครับน่าจะผิดคุณ Paragon น่าจะคิดประมาณว่า
$(a+b+c)(c+d+e)=ac+bd+ce$ ก็อาจจะเป็นได้ครับ
ที่บอร์ด MC ไม่เคยมีการว่ากล่าวกันหรือด่าทอกันหรอกครับ มีแต่ประนาม เอิ๊กๆ ล้อเล่นๆ

[Paragon]

บรรทัดที่ 2 ผิดตรงไหนอ่ะครับ ผมไม่เข้าใจข้อความที่ว่า

(a+b+c)(c+d+e)=ac+bd+ce ก็อาจจะเป็นได้ครับ

มันเกี่ยวข้องยังไงอ่ะครับ

แล้วคิดบนบก กับในน้ำ อันนี้ เป็นเทคนิคของเรื่องอะไรอ่ะครับ หรือหมายถึงการคิดแยกกรณีหรอครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Paragon

$y = \frac{1}{x^0}+x^0+\frac{1}{x^1}+x^1+\frac{1}{x^2}+x^2+\frac{1}{x^3}+x^3+...$

ปัญหาคือ $y$ ไม่เป็นจำนวนจริงครับ

ถึงแม้เราจะกำหนดให้ $x\neq 0,1$ ก็ตาม

กล่าวคือ อนุกรมที่นิยามแบบนี้จะลู่ออกเสมอ

จึงไม่สามารถหาค่าของ $y$ ในรูปของจำนวนจริงได้

เมื่อ $y$ ไม่เป็นจำนวนจริงแล้ว

มันจึงไม่จำเป็นต้องเคารพกฎพีชคณิตของจำนวนจริง (บวก ลบ คูณ หาร ฯลฯ)

ที่คุณได้พยายามใช้กับมัน

$y$ มันดิ้อครับ

[[SIL]]

บนบกคือที่เป็นจำนวนเต็ใ ฝต้น้ำคือเศษส่วนอ่ะครับ
การที่บอกว่า (a+b+c)(d+e+f)=ad+be+cf นั้นอาจจะเป็นไปได้ก็จริง แต่ถ้าลองใช้ดูแล้วสุดท้ายผใช่อว่าจะต้องขัดแย้งแน่นอนครับ

[Paragon]

อ๋อ เข้าใจอย่างถ่องแท้เลยครับ ขอบคุณคุณ [SIL] และคุณ nooonuii มากๆครับ