ข้อสอบ สอวน.2547 ศูนย์สวนกุหลาบ

[sck]

มาต่อแล้วครับ หน้า 3 กว่าจะมีเวลาเปิด net เล่นเฉลยเสร็จแล้ว 13 ข้อ
งั้นก็ลุยเฉลยต่อกันเลยนะครับ

[sck]

หน้า 4 ครับ

[sck]

หน้า 5 ต่อ

[sck]

หน้าสุดท้ายแล้วครับ ครบซะที

[sck]

ข้อ 4 ใช้วิธี star and bar ก็ได้นะครับ จะได้ไม่ต้องนั่งนับ
เป็น การแบ่งของเหมือนกัน 6 ชิ้น(ค่า 1) ให้คน 3 คนโดย
ต้องแบ่งให้หมดและบางคนอาจจะไม่ได้รับก็ได้
จะได้ star 6 bar 2
= C8,2 = 8!/2!6! = 28 แบบครับ

[nooonuii]

ขอทำข้อง่ายก่อนนะครับ

ข้อ 19 จัดรูปสมการใหม่เป็น

(1/ab + 1/bc +1/ca) x - (a²+b²+c²)/abc = 2(ab+bc+ca)/abc

คูณทั้งสองข้างด้วย abc และย้ายข้างจะได้

(a+b+c) x = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)²

แต่ a+b+cน0 เราจึงได้ x = a+b+c

[warut]

ข้อ 30. ให้ x³ + 6x² + 11x + a = (x - p)(x - q)(x - r) = 0
และ x³ + 7x² + 14x + b = (x - p)(x - q)(x - s) = 0
จับ 2 สมการลบกันจะได้
x² + 3x + b - a = (x - p)(x - q)(r - s) = 0
จะเห็นว่า r - s = 1 นั่นคือ (x - p)(x - q) = x² + 3x + b - a
แสดงว่า x² + 3x + b - a ต้องหาร x³ + 6x² + 11x + a ได้ลงตัว
หารกันออกมาจริงๆได้เศษของการหารคือ (2 - b + a)x + a - 3(b - a)
ดังนั้น 2 - b +a = 0 และ a - 3(b - a) = 0
นั่นคือ a = 6 และ b = 8 หรือ ab = 48 นั่นเอง

[gools]

มาแล้วครับ
ข้อ22.
จะเห็นว่า x³-3x-2=(x+1)(x²-x-2)
=(x+1)²(x-2)

และ x³-3x+2=(x-1)(x²+x-2)
=(x-1)²(x+2)
\(n²-1)ึn²-4=ึ(n²-1)²(n²-4)
=ึ(x+1)²(x-2)(x-1)²(x+2)
=ึ(x³-3x-2)(x³-3x+2)
ให้ x³-3x-2=a และ x³-3x+2=b
จะได้ว่า (a+ึab)/(b+ึab)=2/ึ5
[ึa(ึa+ึb)]/[ึb(ึb+ึa)]=2/ึ5
ึa/ึb=2/ึ5
a/b=4/5
5x³-15x-10=4x³-12x+8
x³-3x-18=0
x³-3x²+3x²-3x-18=0
x²(x-3)+3(x-3)(x+2)=0
(x²+3x+6)(x-3)=0
เนื่องจาก x²+3x+6 ไม่มีคำตอบที่เป็นระบบจำนวนจริง เพราะฉะนั้น x=3

ข้อ23
6x⁴-25x³+12x²+25x+6
=6(x⁴-2x²+1)-25x³+24x²+25x
=6(x²-1)²-25x(x²-1)+24x²
=[2(x²-1)-3x][3(x²-1)-8x]
=(2x+1)(x-2)(3x+1)(x-3)=0
ดังนั้นaและbคือ-1/2และ-1/3
a+b-ab=(-1/2)+(-1/3)-(-1/2)(-1/3) =-1

ข้อ17
จะได้ว่า ด้าน bc=ึ5²-4²+ึ8²-4²=3+4ึ3
ใช้สูตร รัศมีวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมเท่ากับ (abc)/(4ทพท.สามเหลี่ยมabc)
=[8ท5ท(3+4ึ3)]/[4ท(1/2)(3+4ึ3)ท4]
=5นิ้ว

[Char Aznable]

ผมเพิ่งเข้าสอวนมานะครับ อยากถามข้อนี้หน่อยนะครับ
จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะในรูป 8k+5 มีเป็นอนันต์

So easy. Suppose there are only finitely many such primes. Let n_1,...,n_r be all distinct primes greater than 1 and n_r be the maximum prime of the from 8k+5. It can be checked easily that N=(n_1...n_r)^2+1 is also a prime. Further, N=5 mod 8, a contradiction.

[nooonuii]

no. 18 is very easy if we use the Legendre formula. The solution is 24. Anyway, we can use elementary counting:

the number of zeros in this product depends on the number of 5 in the product because each 2 and 5 in the product produces one 0 but the number of 2 in the product is always more than the number of 5. So, it suffices to count the number of power of 5 in this product. Observe that there are 20 numbers in the sequence of number from 5 to 100 which is divisible by 5
so we have 20 5's, but 25, 50, 75, and 100 have another remaining 5 to count. Therefore, there are 24 5's in this product.

[gon]

ขอบคุณ คุณ sck อีกครั้ง สำหรับข้อสอบและเรื่องปล่อยไก่

วิธีทำข้อ 30 คุณ warut เด็ดมากเลยครับ. ผมทำโดยใช้ประสบการณ์คือ นั่งมองก็รู้ว่า ต้องเป็น (x + 1)(x + 2)(x + 3) กับ (x + 1)(x + 2)(x + 4) แต่แบบนี้ถือว่าไม่มีเหตุผล

ข้อ 23 ของน้อง Gools ก็เจ๋งครับ. ไปแบบตรง ๆ ไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องสมมาตรเลย ว่าแต่รู้ได้อย่างไงต้องไปทางนั้น ?

งั้นผมต่อข้อ 14 :
เมื่อวาดรูปและแก้ระบบสมการ \((x - 8)^2 + (y - 1)^2 = 4^2 , x^2 + (y - 1)^2 = 48\)
จะได้ว่าจุดสัมผัสคือ \((x, y) = (6, \pm 2\sqrt{3} + 1)\)
ดังนั้น สมการเส้นสัมผัส คือ \(y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1\)

[gools]

คิดแบบไม่มีเหตุผลเหมือนกันครับ ทำไปเรื่อยๆแล้วมันก็แยกตัวประกอบได้เอง เย้!
วิธีแบบสมมาตรเป็นยังไงหรือครับ ช่วยสอนหน่อย

ข้อ 17 อีกวิธีหนึ่ง
จากโจทย์ ให้มุม ACB=q จะได้ว่า Sin q=1/2
\ q=30
สร้างวงกลมล้อมอบสามเหลี่ยม ให้จุดศูนย์กลางคือ O
ลากเส้นตรง AO และ BO จะได้ว่า ะAOB=60ฐ
\ ะABO=ะBAO=60
จะได้ว่า สามเหลี่ยม AOB เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
\ AO=BO=รัศมีของวงกลม=5 หน่วย

[M@gpie]

อืมมม ข้อ 23 มองได้เหนือจิงๆ แต่วิธีสมมาตรดังนี้ คับ
6x⁴ - 25x³ + 12x² + 25x + 6 = 0
ดังนั้นหารตลอดด้วย x²
จะได้ 6x² - 25x + 12 + 25/x + 6/x² = 0
จัดรูปใหม่นิดนึง
6(x² + 1/x²) - 25(x - 1/x) + 12 = 0
เนื่องจาก (x - 1/x)² = x² - 2 + 1/x² ดังนั้น x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2
ได้สมการใหม่เป็น
6(x - 1/x)² - 25(x - 1/x) + 24 = 0
ให้ t = x + 1/x จะได้สมการในรูปที่ง่ายขึ้นคือ
6t² - 25t + 24 = 0 ฎ (6t - 1)(t - 4) = 0 นั่นคือ t = 1/6, 4 แล้วก็แทนค่า t กลับไป เพื่อหาค่า x มา คำตอบก็คงเท่ากันแหละคับ

Edit (warut): correct vB code

[gools]

อีกข้อนะครับ
ให้ r₁ และ r₂ เป็นรัศมีของวงกลมใหญ่และวงกลมเล็กตามลำดับ
จากรูป จงหา r₁+r₂ ในพจน์ของ d