ข้อสอบ สอวน.2547 ศูนย์สวนกุหลาบ

[sck]

ข้อ 27 ครับ

[sck]

ข้อ 26 ครับ ไม่รู้จะทำผิดตรงไหนรึเปล่า

[gon]

ข้อ 26 : ตรงเซต B คุณ sck หามาผิดหรือเปล่าครับ. เช่น ผมลองแทน x = 2 จะพบว่าไม่จริง เท่าที่ผมลองทำไปครั้งแรก ได้ x = 5 กับ 10 ประมาณว่ามาแบบนี้ครับ. \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}} = |\sqrt{x-1}-2|\) อะไรแบบนี้ จากนั้นก็นั่งมองว่าจะเกิดความจริงอะไรขึ้นมา

[gon]

ขอเล่น สอวน. ให้จบก่อนนะครับ. มาต่อ ข้อ 29

29) 89

พิจารณาจำนวนตั้งแต่ 1², 2², ... , 9² จะพบว่า 7² = 6² + 3² + 2² นั่นคืออายุของ (พ่อ, แม่, ลูก 1, ลูก 2) = (49, 36, 9, 4) ดังนั้นเจ้าคุณปู่ อาจจะมีอายุเป็น 49 + 36 + 9 หรือ 49 + 36 + 4 ซึ่งจะได้ 94 หรือ 89 จึงเป็น 89 เท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ

[sck]

อืม ผิดจริงๆ ด้วยครับ
ว่าแล้ว ว่าต้องผิด
ตอนทำลืมแทนค่าตรวจดู
วิธีที่คุณ gon แนะนำตอนแรกผมก็คิดแบบนั้น
แต่ทำไม่ไม่รู้มองไม่ออกในตอนนั้น
ว่าแล้ว ช่วยเฉลย แก้ด้วยนะครับ

[nooonuii]

no.30 : Another solution

Let x³ + 6x² + 11x + a = (x - p)(x - q)(x - r) and
x³ + 7x² + 14x + b = (x - p)(x - q)(x - s).
Then we have
p + q + r = - 6...................(1)
pq + qr + rp = 11..............(2)
pqr = - a........................(3)

p + q + s = - 7....................(4)
pq + qs + sp = 14...............(5)
pqs = - b.........................(6)

(1) - (4) ; r = s + 1..........(7)
Substituting (7) in (2) ; pq + (s + 1)(p + q) = 11 --> pq + qs + sp + (p + q) =11 --> p + q = 11 - 14 = - 3

From (4), (5), and (7) ; s = - 4, r = - 3 and pq = 14 - s(p + q) = 14 - 12 = 2

Therefore, ab = (pq)²rs = 48

[sck]

ข้อ 26 เซต B
อืมผมคิดดูแล้วรู้สึกว่าจะผิดที่ ลืมเงื่อนไข
a ฃ 1 และ b ฃ 1
ลองทำดูจะได้ดังนี้ครับ
ช่วยดูด้วยนะครับว่ายังมีผิดอีกรึเปล่า
ขอบคุณที่ช่วยเตือนนะครับ

[sck]

ข้อ 26 เซต B อีกวิธี ครับ
ึx+3-4ึx-1 + ึx+8-6ึx-1 = 1
| ึx-1 - 2 | + | ึx-1 - 3 | = 1
| ึx-1 - 2 | + | 3 - ึx-1 | = | 1 |
จาก |f(x)|+|g(x)| = |f(x)+g(x)| เป็นจริงเมื่อ f(x)ทg(x)ณ0
จะได้ ( ึx-1 - 2 ) ( 3 - ึx-1 ) ณ 0
5ึx-1 - x - 5 ณ 0
5ึx-1 ณ x + 5
x²- 15x + 50 ฃ 0
(x-5)(x-10) ฃ0
\ B = [5, 10]
วิธีนี้สั้นกว่าเยอะเลย
ดังนั้น ข้อ 26 AวB = [5, 6] = [a, b]
\ a+b = 5 + 6 = 11

[gon]

เจ๋งครับ. Nooonuii ข้อ 30 มาอีกวิธีจนได้. คุณ sck ก็เจ๋งครับ. มองเห็นทางไปจนได้ งั้นผมขอต่อข้อง่ายต่อ

15) \(\frac{175}{12}\)
เมื่อวาดรูป จะพบว่า สมการไดเรกตริกซ์จะต้องผ่านจุด (-3, 4) และ มีความชันเป็น \(\frac{3}{4}\) ดังนั้นสมการของไดเรกตริกซ์ คือ \(\frac{y-4}{x+3}=\frac{3}{4}\) หรือ \(\frac{x}{\frac{-25}{3}}+\frac{y}{\frac{25}{4}}=1\) ดังนั้น \(|a-b| = 25(\frac{1}{4}+\frac{1}{3})= \frac{175}{12}\)

[gon]

มาต่อข้อ 21. โจทย์เด็ก ม.ต้น

21) 2700 ลิตร

\(t \propto \frac{s}{v}, v\propto \frac{\sqrt{Q}}{n} \Rightarrow t \propto \frac{sn}{\sqrt{Q}} \Rightarrow t = \frac{ksn}{\sqrt{Q}}\)

แทน \(t = 2, Q = 1200, s = 800, n = 120 \Rightarrow k = \frac{\sqrt{3}}{2400}\)

แทน \(t = \frac{5}{2}, s = 1200, n = 150 \Rightarrow \sqrt{Q} = 30\sqrt{3} \Rightarrow Q = 2700\)

[gon]

20) 21

2⁵ = 32, 5⁵ = 3125 ฎ n = 5

และ 3125 = 97(32) + 21

[gon]

25) 101.5

ให้ h แทนความสูงของเสาธง หักส่วนสูงเด็กออก ตั้งสมการจะได้ว่า
\(\tan(\alpha + \beta) = \frac{h}{100}, \tan\beta = \frac{h}{200}, \tan\alpha = \frac{h}{300}\)

แต่ \(\tan(A+B) = \frac{\tan A + tan B}{1 - \tan A \tan B}\)

ดังนั้น \(\frac{h}{100} = \frac{\frac{h}{200} + \frac{h}{300}}{1 - \frac{h^2}{60000}} \Rightarrow h = 100\)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
ผมเพิ่งเข้าสอวนมานะครับ อยากถามข้อนี้หน่อยนะครับ
จงพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะในรูป 8k+5 มีเป็นอนันต์

ข้อความเดิมของคุณ <aaaa>:
So easy. Suppose there are only finitely many such primes. Let n_1,...,n_r be all distinct primes greater than 1 and n_r be the maximum prime of the from 8k+5. It can be checked easily that N=(n_1...n_r)^2+1 is also a prime. Further, N=5 mod 8, a contradiction.

ที่ถูกควรจะเป็น ให้ $N=(2n_1n_2\cdots n_r)^2+1$ นะครับ ถึงจะได้ $N\equiv5\pmod8$ และการให้เหตุผลคงยังต้องพูดละเอียดต่อไปว่า

ถ้า $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $N$ จะเห็นว่า $p\ne n_1,n_2,\dots,n_r$ และ $-1$ เป็น quadratic residue modulo $p$ ดังนั้น $p$ จะอยู่ในรูป $4k+1$ นั่นคือ $p$ จะอยู่ในรูป $8k+1$ หรือ $8k+5$ แต่ตัวประกอบเฉพาะของ $N$ จะอยู่ในรูป $8k+1$ ทุกตัวไม่ได้ เพราะมิฉะนั้นเราจะได้ว่า $N\equiv1\pmod8$ แสดงว่า $N$ ต้องมีตัวประกอบเฉพาะที่อยู่ในรูป $8k+5$ ที่ไม่ใช่ $n_1,n_2,\dots,n_r$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่สมมติไว้ในตอนต้นครับ

[Necron]

ข้อ15ตอบ14รึป่าวคับ

[Necron]

ผมว่าข้อ3ไม่ได้ตอบ4นะครับเพราะด้านซ้ายมี2ตั้ง7ตัวถ้าตอบ4มันจะมี2แค่4ตัวเองไม่น่าจะใช้อ่ะคับ