Limit

[Influenza_Mathematics]

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} $$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} $$

ใช้ squeeze theorem ครับ

$-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin{x}}{x}\leq\dfrac{1}{x}$

เมื่อ $x\to\infty$ ทั้งฝั่งซ้ายและขวาลู่เข้าหา $0$ เทอมตรงกลางก็ต้องลู่เข้าหาศูนย์ด้วย

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช้ squeeze theorem ครับ

$-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin{x}}{x}\leq\dfrac{1}{x}$

เมื่อ $x\to\infty$ ทั้งฝั่งซ้ายและขวาลู่เข้าหา $0$ เทอมตรงกลางก็ต้องลู่เข้าหาศูนย์ด้วย

squeeze theorem คืออะไรหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

squeeze theorem คืออะไรหรอครับ

Squeeze Theorem

ถ้า $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ ทุก $x$ ในโดเมน และ $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)}$ แล้ว

$$\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$$

วิธีพิสูจน์ก็ไม่ยากครับ ลองคิดดูง่ายๆว่า ถ้าฟังก์ชันฝั่งซ้ายและขวาลู่เข้าหาจำนวนเดียวกันแล้ว

จะมีจำนวนใดอีกเล่าที่จะแทรกเข้าไปอยู่ระหว่างจำนวนนี้นอกจากตัวมันเอง

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Squeeze Theorem

ถ้า $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ ทุก $x$ ในโดเมน และ $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)}$ แล้ว

$$\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$$

วิธีพิสูจน์ก็ไม่ยากครับ ลองคิดดูง่ายๆว่า ถ้าฟังก์ชันฝั่งซ้ายและขวาลู่เข้าหาจำนวนเดียวกันแล้ว

จะมีจำนวนใดอีกเล่าที่จะแทรกเข้าไปอยู่ระหว่างจำนวนนี้นอกจากตัวมันเอง

ขอบคุณครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

Squeeze Theorem

ถ้า $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ ทุก $x$ ในโดเมน และ $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)}$ แล้ว

$$\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)$$

วิธีพิสูจน์ก็ไม่ยากครับ ลองคิดดูง่ายๆว่า ถ้าฟังก์ชันฝั่งซ้ายและขวาลู่เข้าหาจำนวนเดียวกันแล้ว

จะมีจำนวนใดอีกเล่าที่จะแทรกเข้าไปอยู่ระหว่างจำนวนนี้นอกจากตัวมันเอง

รบกวนขอโจทย์เพิ่มหน่อยครับ

[nooonuii]

จงหาค่าของ

$$\lim_{x\to 0}x^2\cos{(\frac{1}{x})}$$

[Hirokana]

พิจารณา ${x\to\ 0}$ แล้วจะได้ ${\frac{1}{x}\to\infty}$

$give \quad \frac{1}{x} = u$

$\therefore \lim_{x\to\ 0}x^2cos\left(\,\frac{1}{x}\right)$

$=\lim_{u\to\infty}\frac{1}{u^2}cosu$

$ from \,\, \,squeeze \,\,\,theorem,$

$$ -1\leqslant cosu \leqslant 1 \rightarrow -\frac{1}{u^2} \leqslant \frac{1}{u^2}cosu \leqslant \frac{1}{u^2}$$

$\because \lim_{x\to\ 0}x^2cos\left(\,\frac{1}{x}\right)$
$=0$ โดยอ้างจาก ลิมิตซ้าย และ ลิมิตขวา

ขอยกโจทย์บ้างนะครับ

จงหาค่าของ $$\lim_{x\to\ 1}\left(\,\sqrt[3]{x-1}\right)^2 sin\left(\,\frac{1}{x-1}\right)$$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

จงหาค่าของ $$\lim_{x\to\ 1}\left(\,\sqrt[3]{x-1}\right)^2 sin\left(\,\frac{1}{x-1}\right)$$

เราให้ $-1 \leqslant \sin(\dfrac{1}{x-1}) \leqslant 1$
สำหรับ $x>0$ เราคูณ $(\sqrt[3]{x-1})^2$ ทั้งสองข้างของอสมการ เราจะได้อสมการ

$$-(\sqrt[3]{x-1})^2 \leqslant (\sqrt[3]{x-1})^2\sin(\dfrac{1}{x-1}) \leqslant (\sqrt[3]{x-1})^2$$
แต่ $ \lim_{x \to 1} -(\sqrt[3]{x-1})^2 = \lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{x-1})^2 = 0$

จาก Squeezing theorem จะได้ว่า $$\lim_{x\to\ 1}\left(\,\sqrt[3]{x-1}\right)^2 sin\left(\,\frac{1}{x-1}\right) = 0$$

[poper]

อยากถามมานานแล้วครับ ขอถามในกระทู้นี้เลยละกันนะครับ
โจทย์ที่ต้องใช้ squeeze theorem นี้ถ้าเราจะคืดแบบธรรมดาได้มัยครับ เช่น
$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}sin x$
เนื่องจาก $sinx$ ลำดับแกว่งกวัด จึงไม่ลู่เข้า แต่ $\frac{1}{x}$ ลู่เข้าสู่ $0$
ดังนั้น $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}sin x=0\times sinx=0$ แบบนี้ได้มั้ยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อยากถามมานานแล้วครับ ขอถามในกระทู้นี้เลยละกันนะครับ
โจทย์ที่ต้องใช้ squeeze theorem นี้ถ้าเราจะคืดแบบธรรมดาได้มัยครับ เช่น
$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}sin x$
เนื่องจาก $sinx$ ลำดับแกว่งกวัด จึงไม่ลู่เข้า แต่ $\frac{1}{x}$ ลู่เข้าสู่ $0$
ดังนั้น $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}sin x=0\times sinx=0$ แบบนี้ได้มั้ยครับ

ถ้าจะทำแบบนี้ลิมิตต้องหาได้ทั้งคู่ครับ

[poper]

อ้อ..ขอบคุณมากครับ
สงสัยผมต้องไปขุดทฤษฎีลิมิตมารื้อฟื้นใหม่จริงๆครับ

[Influenza_Mathematics]

ถามหน่อยครับ แล้ว $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}$ ใช้ squeezing theorem หาไม่ได้หรอครับ ทำไมอะครับ

[Hirokana]

มันก็ใช้หาได้นะครับเพียงแต่เราต้องมีการกำหนดช่วงที่ชัดเจนเพื่อให้ง่ายต่อการหา

ลองอ่านดูนะครับมีการพิสูจน์ การใช้ squeezing theorem ในการหาค่าค่าของ

$$ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

จะอยู่ในส่วนของ Limits of extra interest

http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function

ซึ่งถ้าไปหาอ่านในหนังสือ แคลคูลัส 1 จะมีวิธีการพิสูจน์วิธีอื่นๆให้ดูครับ