Analysis

[nooonuii]

ข้อสอง Hint ยากจังครับ ยังไงก็คงต้องอ้างความจริงที่ว่ามีจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัวในช่วงเปิดใดๆเหมือนที่คุณ passer-by เคย Hint ไว้แล้วครับ สำหรับกรณีจำนวนอตรรกยะผมเพิ่งคิดวิธีพิสูจน์สวยๆได้อันนึง ไม่รู้ว่าตรงกับในหนังสือเล่มไหนรึเปล่าครับ ยังไม่ได้เช็ค

Suppose that $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ is not dense. Then there is a nondegenerate interval $(a,b)$ such that $(a,b)\cap(\mathbb{R}-\mathbb{Q})=\emptyset$. This means every point in $(a,b)$ is a rational number. But we know that $(a,b)$ is an uncountable set, so $\mathbb{Q}$ is uncountable. This is a contradiction.

ข้อ 5 ให้พิสูจน์ว่า สับเซตที่มีสมาชิกตัวเดียวเป็นเซตเปิดครับ อาจจะต้องใช้ความจริงที่ว่า $B_d(a,r)=\{x\in X | d(x,a) < r \}$ เป็นเซตเปิด ลองเลือก $r$ เหมาะๆมาซักค่านึงครับ อย่าลืมว่า $d$ เป็น discrete metric ด้วยครับ จากนั้นใช้คุณสมบัติของเซตเปิดขยายไปยังสับเซตใดๆ ถ้าได้ว่าทุกสับเซตเป็นเซตเปิดก็จะได้ว่าทุกสับเซตเป็นเซตปิดทันทีครับ

[mercedesbenz]

ทำได้แล้วครับ ดีใจมาก ขอบคุณมากๆนะครับที่ช่วย Hint ข้อ5 ให้
คุณ nooonuii เนี่ยเก่งจังเลยนะครับ สมแล้วกับที่เป็นผู้พิทักษ์กฎทั่วไป