Calculus Marathon

[nooonuii]

มาแล้วคร้าบ

10. กำหนดให้ $R = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ | \ x^6 - x^2 + y^2 \leq 0 \}$ จงหาพื้นที่ของ $R$

ที่มา : Harvard - MIT Mathematics Tournament 2004

ให้เครดิตเจ้าของโจทย์หน่อยครับ

[Mastermander]

$$ R = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \ | \ x^6 - x^2 + y^2 \leq 0 \} $$
\( \mathbb{R^2}\) หมายถึง $\mathbb{R \times R}$ รึเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
\( R^2\; หมายถึง \; R\times R\, รึเปล่าครับ \)

ใช่ครับ

[passer-by]

ข้อ 10 ไม่แน่ใจว่า ตอบ $ \frac{\pi}{2} $ หรือเปล่าครับ

คือผมเปลี่ยน $ y^{2}=x^{2}-x^{6} $ เป็น $ r^{2}= \sec^{2}\theta\sqrt{1-\tan^{2}\theta} $ ใน polar coordinate

แล้วคำนวณพื้นที่ส่วนที่อยู่จตุภาคที่ 1 พบว่า
$ \text{AREA}= \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}\theta\sqrt{1-\tan^{2}\theta}\,d\theta = \frac{\pi}{8} $

จากนั้นก็คูณ 4 (เพราะ สมมาตรใน 4 quadrants)

[warut]

ข้อ 10. พื้นที่ของ $R$ คือ $$4 \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx$$ ให้ $x^2=\sin \theta \,$ อินทิกรัลจะกลายเป็น $$ 2 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \,d\theta= \frac{\pi}{2} $$

[passer-by]

Nice Solution มากๆครับ คุณ Warut (ไม่น่าลงทุนใช้ polar coordinate เลยเรา )

รู้สึกว่า กราฟบริเวณ R จะเป็นรูปคล้ายๆ เครื่องหมาย infinity ด้วยนะครับ ถ้าใครสนใจก็ลองไปวาดดู

แล้วอย่างนี้ ใครจะเป็นคนตั้งคำถามต่อไปล่ะเนี่ย?

[Mastermander]

ให้ $ x^2=\sin \theta \, $ อินทิกรัลจะกลายเป็น
$ \displaystyle{ 2 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \,d\theta= \frac{\pi}{2} }$

ไปได้อย่างไรครับ งง

$ \displaystyle{4 \int_0^1 \sqrt{x^2-x^6} \,dx}=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin \theta - \sin^3 \theta}\, d\theta =4\int_0^{\pi/2} \cos \theta \sqrt{\sin \theta} \ d\theta $
$$=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{\sin \theta}\; d(\sin \theta)=4\bigg[\frac23 \sin ^{3/2}\theta\bigg]_0^{\pi/2} =\frac83$$
แล้วไปเป็นอย่างคุณวรุฒ ได้อย่างไรครับ

[nooonuii]

น้อง Mastermander ลองหา dx อีกรอบสิครับ

[Mastermander]

อุ่ย จริงด้วยครับ ลืมจุดนั้นไปเลย

[passer-by]

บริเวณ R ที่ผมได้ เป็นอย่างรูปข้างล่างครับ

แล้วก็ถือโอกาสแถมข้อ 11 เลยแล้วกัน

11. ใช้ แคลคูลัส พิสูจน์ว่า $ \frac{1}{3}< \arcsin(\frac{1}{3})< \frac{1}{\sqrt{7}} $

[Mastermander]

ไม่มีคนมาทำ งั้นผมขอลองดูนะครับ

เนื่องจาก
$ \arcsin\frac{a}{3} <\arcsin\frac{b}{3} < \arcsin\frac{c}{3} $
เป็นจริง สำหรับจำนวนจริง a < b < c ที่ทำให้ค่า arcsin เป็นบวก

ทำการหาอนุพันธ์ ทั้งอสมการ
$$ \frac{1}{\sqrt{9-a^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-b^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-c^2}} $$

ดังนั้นถ้าแทนค่า a = 0 , b = 1 , c = ึ2 ยังคงเป็นจริงอยู่เพราะ a < b < c
จะได้ว่า
$$ \frac{1}{\sqrt9} < \frac{1}{\sqrt8} < \frac{1}{\sqrt7} $$

เนื่องจาก $ \frac{1}{\sqrt8} $ เป็นอนุพันธ์ของ $ \arcsin(\frac{b}{3}) $ ที่ b = 2 และอสมการยังคงเป็นจริงเพราะว่าเราแทนค่า a < b < c
ดังนั้นจึงสรุปว่า

$$ \frac13 < \arcsin\frac13 < \frac{1}{\sqrt7} $$

[passer-by]

ข้อความเดิมของน้อง Mastermander :
เนื่องจาก $\frac{1}{\sqrt8}$ เป็นอนุพันธ์ของ $\arcsin(\frac{b}{3})$ ที่ b = 2
ดังนั้นจึงสรุปว่า $\displaystyle{ \frac13 < \arcsin\frac13 < \frac{1}{\sqrt7} }$

บรรทัดบน น้องอ้าง อนุพันธ์ของ arcsin แต่ข้างล่างเป็น arcsin เฉยๆนะครับน้อง
(และ ผมว่า b=1 ไม่ใช่ b=2 นะ)

เท่าที่อ่านดูวิธีทำตั้งแต่แรก ก็งงๆดีครับ แต่ไม่เป็นไร ถือว่าให้คะแนนความพยายาม
ประกอบกับยังอยู่ ม.ปลาย

ข้อนี้ จริงๆ ผมกะให้ใช้ Mean value Theorem อย่างเดียว ก็จะได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการทันทีครับ

Mean Value Theorem
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a,b] และ differentiable ใน (a,b) แล้วจะมี $ c\in (a,b)$ ซึ่ง
$$ f '(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

พิจารณา f(x)= arcsin(x) บน [0,x] และ 0< x< 1

จากนั้น apply Mean Value theorem จะได้ว่ามี c ใน (0,x) ซึ่ง

$$\frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}}=\frac{\arcsin(x)}{x} $$

และจาก 0< c < x ทำให้ $ 1 < \frac{1}{\sqrt{1-c^{2}}} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $

หรือเขียนใหม่เป็น $ 1 < \frac{\arcsin(x)}{x} < \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $

จากนั้นก็แทน x= 1/3 เข้าไป ประกอบกับ $\frac{1}{\sqrt{8}} < \frac{1}{\sqrt{7}} $ ก็เรียบร้อยครับ

[Mastermander]

ครับ ตรงที่ b=2 พิมพ์ผิดครับ ต้องเป็น b=1

[Punk]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
...
เนื่องจาก
$ \arcsin\frac{a}{3} <\arcsin\frac{b}{3} < \arcsin\frac{c}{3} $
เป็นจริง สำหรับจำนวนจริง a < b < c ที่ทำให้ค่า arcsin เป็นบวก

ทำการหาอนุพันธ์ ทั้งอสมการ
$$ \frac{1}{\sqrt{9-a^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-b^2}} < \frac{1}{\sqrt{9-c^2}} $$

diff อสมการไม่จำเป็นต้องได้อสมการ

ฝากสักข้อละกัน(หวังว่าจะไม่ทำให้กระทู้เดี้ยงไปนะ)

12. จงหาจำนวนผลเฉลย $x\in\mathbb{R}$ ของสมการ
$$
2^{-2^{-x}}+2^{-x}=2x
$$

(Hint: Mean value theorem)

[Mr.high]

ใบ้อีกหน่อยได้มั้ยครับ ไม่ค่อยได้เจอโจทย์แนวนี้ด้วย
อยากรู้จริงเลยๆว่าไปหามาจากไหน