converge or diverge

[deathspirit]

รบกวนช่วยแนะหน่อยครับ ว่าอนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าหรือว่าลู่ออก
หลายข้อเลยครับ ขอบคุณครับ

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sec^4 n}{\sqrt[3]{n}} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^{n}\ n!} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{1}{n}) $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \ (2n+3)} $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}} $$

[passer-by]

ข้อ 1 (ใน sec น่าจะเป็นตัว n นะครับ)

Divergent โดยใช้ comparison test กับ $ a_n= \frac{1}{\sqrt[3]{n}} $

ข้อ 2

Divergent โดยใช้ ratio test

ข้อ 3

Divergent โดยใช้ Limit form of comparison test กับ $ a_n= \frac{1}{n} $

ข้อ 4

Convergent โดยใช้ Ratio test

ข้อ 5

Divergent โดย $ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \leq n $ และใช้ Comparison test กับ $ a_n= \frac{1}{n} $

p.s. อย่าลืม check ตัวเลขด้วยนะครับ เผื่อผมคิดเลขผิด

[deathspirit]

ขอบคุณครับ

ข้อ 2 ลองใช้ ratio test ดูแล้วได้ convergent ครับ

[passer-by]

ครับ ข้อสองต้อง convergent เพราะ limit มันได้ $\frac{e}{3}<1 $ แต่เมื่อคืนผมทดได้ $ 3e$ เฉยเลย

[deathspirit]

รบกวนอีกข้อนึงครับ

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\pi - 2 \arctan n) $$

ขอบคุณครับ

[passer-by]

ใช้ Integral Test ครับ

โดยถ้าพิจารณา $$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\pi}{2}-\arctan(n)) $$

พบว่า ลำดับ เป็น positive decreasing sequence และ $ \int_1 ^{\infty} \arctan(x) \,\, dx $ ลู่ออก ดังนั้น series ลู่ออกด้วย

[warut]

ยังไม่เข้าใจครับว่า ทำไม $ \int_1 ^{\infty} \arctan(x) \, dx $ ลู่ออก แล้วถึงต้องทำให้ series นั้นลู่ออกด้วย

[passer-by]

อ้อ ! ไม่ได้ใส่ constant เข้าไปนั่นเอง

ที่ถูกควรจะเป็น $ \int_1^{\infty}( \frac{\pi}{2} -\arctan(x)) \,\, dx $ ซึ่ง diverges ดังนั้นอนุกรมนี้ก็ diverges ด้วย

[warut]

ตอนแรกผมนึกว่าผมไม่เข้าใจจริงๆนะเนี่ย ถ้างั้นก็คงทำประมาณนี้นะครับ

จากที่ $$ \int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \frac12 \ln (x^2+1) + C $$ ดังนั้นสิ่งสำคัญคือการแสดงว่า $$ \lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x \right) + \frac12 \ln (x^2+1) = \infty $$ ซึ่งเป็นจริงเพราะ $$ \lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x \right) \ge 0 $$ และ $$ \lim_{x \to \infty} \frac12 \ln (x^2+1) = \infty $$

[deathspirit]

ขอบคุณครับ

[deathspirit]

อีกข้อนึงครับ
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cdot 2^{2n}}{4^n+3^n} $$

[warut]

$\lim a_n\ne0$ ไงครับ

[deathspirit]

คือว่าถ้า $ \{a_n\} $ ไม่มีลิมิต(แบบข้อดังกล่าว) บอกว่าลู่ออกได้เลยใช่มั้ยครับ ไม่จำเป็นว่าจะต้องได้เป็นตัวเลขซึ่งไม่เป็น 0 หรือ $ \infty $

[warut]

ใช่ครับ เพราะถ้าลู่เข้าต้องได้ $\lim a_n=0$