ขอความช่วยเหลืออีกครั้ง!!!!!

[suan123]

1.let f : RฎR be nonidentically zero and satisfy f(x+y) = f(x)*f(y) for all x,y ฮ R. Show that f is continuous at 0 ซ it is conyinuous everywhere.

2.Show that f(x) = sin(1/x) isn't uniformly continuous on (0,1].

[M@gpie]

ข้อ 2. ก่อนนะครับ ข้อแรกเดี๋ยวไปคิดก่อน
We can see that $ f(x) = \sin (\frac{1}{x})$ is continuous function on $ (0,1] $, but it can't be extended to continous function on $[0,1]$.
Since $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0 } f(x) }$ does not exist. Therefore $f$ is not uniformly continuous on $(0,1]$ by Continous extension theorem.

[suan123]

so what is continuous extension theroem said?

[M@gpie]

ใจความมีดังนี้ครับ


Continuous Extension Theorem
A function $f$ is uniformly continuous on the interval (a,b) if and only if it can be defined at the end points $a$ and $b$ such that the extended function is continuous on $[a,b]$.

[suan123]

ทำไมหนังสือที่ผมใช้จึงไม่มี theroem นี้เป็นงง!!!!!! ยังไงก็ขอบคุณมากครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมของคุณ suan123:
ทำไมหนังสือที่ผมใช้จึงไม่มี theroem นี้เป็นงง!!!!!! ยังไงก็ขอบคุณมากครับ

ครับ หนังสือบางเล่มไม่มีทฤษฎีบทนี้ครับ ผมเอามาจาก Introduction to Real analysis ของ Bartle
คุณ suan123 อ่านเล่มไหนอยู่ครับ

[suan123]

ผมใช้ The way of analysis ; Robert S. Strichartz ครับอาจารย์บอกว่าอ่านง่ายดี

[M@gpie]

อ้อ ผมเคยเห็นครับ แต่ไม่เคยอ่านเลย ไม่รู้ว่าเป็นยังไง

[passer-by]

Question 1

I'll prove "if part" only since the converse is obvious.

Lemma
(i) $ f(0)= 1 $
(ii) $ f(a)=\frac{1}{f(-a)} $ for any $ a \in R$
proof :

(i) $ f(0+0)= f(0)^2 \rightarrow f(0)=0,1 $ If $ f(0)=0 , f(x)=f(x)f(0) $ and hence $ f(x)=0$ for every $x \in R$ which contradicts to hypothesis.

(ii) immediately from (i) by let $ x =a , y= -a $

Now we go to the actual statement .

Let $y_n$be any sequence converging to nonzero $a$.

$f(y_n - a)=f(y_n)f(-a) = f(y_n)(\frac{1}{f(a)}) $

By hypothesis , L.H.S converges to $f(0)= 1$ ,so is R.H.S. .

Hence , $ f(y_n)$ converges to $f(a)$

This shows that $f$ is continuous at nonzero values.

Question 2

Choose $x_n = \frac{1}{n\pi}$ and $y_n =\frac{1}{(n+\frac{1}{2})\pi}$

Now $ \mid x_n - y_n \mid $ converges to zero but $ \mid f(x_n)-f(y_n)\mid = 1$

It's suffice to show that such $f$ isn't uniformly continuous on that interval.


NOTE: If you have enough time , find (with proof) $ f(x)$ satisfying question 1 and is differentiable at $ x=0 $

[M@gpie]

โอ้ ข้อสองวิธีพี่ paaser-by ง่ายจังครับ อิอิ ข้อแรกผมก็นั่งคิดเพิ่งจะได้ Lemma ของพี่มา กำลังว่าจะสร้าง sequence ยังไงดี ผมยังอ่อนประสบการณ์จริงๆเลยครับเนี่ย

[suan123]

ผมต่างหากที่ยังอ่อนขนาดอ่านเฉลยข้อ 1 ยังไม่ค่อยรู้เรื่องเลย

[M@gpie]

งั้นผมขออนุญาตพี่ passer-by อธิบายเพิ่มให้นะครับ
ในที่นี้พี่เขาใช้ Sequential criteria ในการแสดงว่าฟังก์ชันต่อเนื่องครับ มีใจความว่า
"If f is continuous at the point $x=c$ if and only if for any sequences $x_n$ which converges to $c$ and $x_n \neq c$ for all $n \in \mathbb{N}$, then $f(x_n)$ converges to $f(c)$"

ในที่นี้โจทย์บอกว่า $f$ ต่อเนื่องที่จุด $x=0$ จึงได้ว่า sequence $x_n$ ใดๆที่ลู่เข้าสู่ $0$ จะได้ว่า $f(x_n) $ ลู่เข้าสู่ $0$ ด้วย
โดยการให้ $y_n \rightarrow a$ โดยที่ $a\in \mathbb{R}$ จะได้ว่า $x_n = y_n -a \rightarrow 0 $ ก็จะได้ว่า $f(y_n-a) \rightarrow f(0) $ แล้วก็ ทำแบบที่พี่ passer-by แสดงให้ดูจะได้ว่า $f(y_n) \rightarrow f(a)$ ตามต้องการครับ

[warut]

เนื่องจากผู้ตอบไม่ได้เข้าไปนั่งเรียนกับผู้ถาม ดังนั้นจึงไม่ทราบว่า อาจารย์สอนแบบไหน สอนอะไรไปบ้างแล้ว และยังไม่ได้สอนอะไร อาจารย์ใช้นิยามอันไหน อาจารย์ต้องการให้ผู้เรียนทำโจทย์ยังไง rigorous แค่ไหน ดังนั้นคำตอบที่แปะให้บางครั้ง อาจจะไม่ตรงกับความต้องการของผู้ถามได้ครับ

อย่างเช่นเรื่องความต่อเนื่องเนี่ย ถ้าเป็นเอ๊าะๆก็อาจใช้ลิมิต ถ้าโตขึ้นก็อาจใช้ $\epsilon,\delta$ หรือบางคนก็ใช้ sequence (อย่างที่คุณ passer-by ทำข้างต้น) หนักขึ้นไปก็อาจมีการใช้ทฤษฎีจาก topology คำตอบมันจึงเป็นได้หลายแบบครับ

อย่างข้อ 1. ผมคิดว่าทำแบบนี้ก็ได้มั้งครับ

หลังจากที่แสดงว่า $f(0)=1$ ตามแบบคุณ passer-by แล้ว เราทำต่อโดยให้ $a\in\mathbb R$ และจากที่ $$f(a+h)=f(a)f(h)$$ ดังนั้น $$\lim_{h\to0} f(a+h)=\lim_{h\to0} f(a)f(h)$$ แต่ $f(a)$ เป็น constant จึงดึงออกได้ เราจึงได้ว่า $$\lim_{h\to0} f(a+h)= f(a) \lim_{h\to0} f(h)$$ เนื่องจากโจทย์ให้มาว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $0$ ดังนั้น $$\lim_{h\to0} f(h)=f(0)=1$$ เราจึงได้ว่า $$\lim_{h\to0} f(a+h)= f(a)\cdot1 =f(a)$$ เนื่องจากเมื่อ $h\to0$ แล้ว $a+h\to a$ ดังนั้นเราจึงได้ว่า $$\lim_{x\to a} f(x)= f(a)$$ นั่นคือ $f$ ต่อเนื่องที่จุด $a$ ครับ

[suan123]

กระจ่างมากครับ ขอบคุณครับ

[M@gpie]

ก็เห็นด้วยกับพี่ warut ครับ ผมไม่เคยเรียนเลยครับ วิชานี้ เลยอ่านหนังสือ+ดูตัวอย่าง หลายเล่มมากกว่าจะเข้าใจ แล้วก็อาศัยถามๆ พี่แถวๆนี้เอา อิอิ (ขอบคุณมา ณ. ที่นี้ด้วยครับ ) วิธีทำเลยอาจจะมั่วๆอยู่บ้าง แต่ก็จะปรับปรุงต่อไปครับ