Improper Integral Problem

[PURE MATH]

ASSIGNMENT CALCULUS
ช่วยคิดหน่อยนะครับบบบบบบบบ
$$1. \lim_{x \to \0} \frac{tan x}{x}$$
$$2. \lim_{t \to \0} \frac{sin^2 t}{t^2}$$
$$3. \lim_{x \to \positive infty} (cos\frac{1}{x} )^x$$
$$4. \lim_{x \to \0} \frac{e^x+x^-x-x^2-2}{sin^2x-x^2}$$

[PURE MATH]

สงสัยผมจะพิมพ์ สมการผิดอ่ะครับ limit ผมยังพิมไม่เป็นนะครับเลยแนบเป็นไฟล์มาแล้วกันครับ

[PURE MATH]

เป็นอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ผมเรียนแล้วยังไม่ค่อย เกท เท่าไรเลย
ใครพออธิบายเนื้อหาให้ฟังได้บ้างก็ ขอบคุณมากเลยครับ

[poper]

เรื่องอินทิกรัลไม่ตรงแบบ ใช้ตัวนี้ครับ เช่น

$$\int_{-\infty}^{0}x^2e^xdx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^0x^2e^xdx$$

ข้อนี้ตอบ 2 นะครับ

[poper]

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{1}x^{-\frac{1}{2}}dx=[2\sqrt{x}]_0^1=2$$

[poper]

$$\int_{0}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx$$

ให้ $u=\sqrt{1-2sinx}$ $,\ \ du=\frac{-cosxdx}{u} $ $\ \ \ ,dx=\frac{-udu}{cosx}$

$$\int_{0}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(-du)=[u]_0^{\frac{\pi}{4}}=1-\sqrt{1-\sqrt{2}}$$

[poper]

$$\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+x}dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx=\int_0^{+\infty}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx=[ln\frac{x}{x+1}]_0^{+\infty}$$
$$=\lim_{b\to +\infty}[ln\frac{x}{x+1}]_0^{b}=ln1-ln0$$ หาค่าไม่ได้

[poper]

$$\int_0^{+\infty}\frac{1}{xln^2x}dx=\int_0^{+\infty}\frac{(lnx)'}{(lnx)^2}dx=\int_0^{+\infty}d(-\frac{1}{lnx})=[-\frac{1}{lnx}]_0^{+\infty}$$
$$=\lim_{b\to +\infty}[-\frac{1}{lnx}]_0^b=0+\frac{1}{ln0}$$
หาค่าไม่ได้

[poper]

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^2-4x+8}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x-2)^2+4}dx$$

ให้ $x-2=2tan\theta$ $\ \ \ ,dx=2sec^2\theta d\theta$
เมื่อ $x\to -\infty\ \ \ ,\theta\to -\frac{\pi}{2}$
เมื่อ $x\to \infty \ \ \ ,\theta\to \frac{\pi}{2}$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x-2)^2+4}dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4tan^2\theta+4}(2sec^2\theta d\theta)=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta$$
$$=\frac{1}{2}[\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$$

[poper]

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x+x^{-x}-x^2-2}{sin^2x-x^2}$$

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{e^x+x^{-x}-x^2-2}{sin^2x-x^2}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{e^x-2}{x^2}+\frac{1}{x^{x+2}}-1}{(\frac{sinx}{x}+1)(\frac{sinx}{x}-1)}=+\infty$$

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x+x^{-x}-x^2-2}{sin^2x-x^2}=\lim_{x\to 0^-}\frac{\frac{e^x-2}{x^2}+\frac{1}{x^{x+2}}-1}{(\frac{sinx}{x}+1)(\frac{sinx}{x}-1)}=-\infty$$

หาค่าไม่ได้

[PURE MATH]

#10. ข้อลิมิต มันเฉลย 0 อ่ะครับ

[PURE MATH]

ขอบคุณมากนะครับ สำหรับแนวคิดทุกข้อเลย

[nooonuii]

ขอรอดูโจทย์ให้นิ่งกว่านี้ก่อนนะครับ

#2 คิดว่าโจทย์ยังมีปัญหานะครับ

เทอม $x^{-x}$ ไม่ใช่ $e^{-x}$ ใช่มั้ยครับ

ถ้าเป็น $x^{-x}$ จริง ตัวลิมิตควรจะเป็น $x\to 0^+$ ครับเพราะ $x^{-x}$ ไม่นิยามสำหรับจำนวนจริงลบ

[Anarist]

เห็นด้วยครับ ถ้าเป็น $e^{-x}$ แล้วเป๊ะเลย
ข้างบนจะตัดกันถึง $x^4$ ข้างล่างถึง $x^3$ ตอบ 0 ได้พอดี

ผมก็ว่า $x^{-x}$ นี่ไม่ควรโผล่มามากๆ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ขอรอดูโจทย์ให้นิ่งกว่านี้ก่อนนะครับ

#2 คิดว่าโจทย์ยังมีปัญหานะครับ

เทอม $x^{-x}$ ไม่ใช่ $e^{-x}$ ใช่มั้ยครับ

ถ้าเป็น $x^{-x}$ จริง ตัวลิมิตควรจะเป็น $x\to 0^+$ ครับเพราะ $x^{-x}$ ไม่นิยามสำหรับจำนวนจริงลบ

รบกวนท่าน nooonuii อธิบายเพิ่มทีครับ ว่าทำไมจึงไม่นิยามล่ะครับ