Real analysis problem

[M@gpie]

ผมไม่ค่อยชอบ tabbar ของ firefox น่ะครับ แต่ไว้จะลองดูครับ อิอิ

[warut]

ขณะนี้ผมใช้ Firefox ก็เพื่อเว็บบอร์ดนี้ที่เดียวครับ ที่อื่นยังใช้ IE อยู่ ยังไม่ค่อยอยากเปลี่ยนแปลงอะไรมาก (conservative, eh?)

[M@gpie]

ต่อไปกลับมาแบบบ้านๆกันบ้างครับ อันนี้ผมแค่สงสัยว่าทำไมมันดูไม่ค่อยมีอะไร ?

7. Suppose that $\{ x_n\}$ is a real seqence. Prove that \[ -\limsup_{n\rightarrow \infty}x_n = \liminf_{n\rightarrow \infty} (-x_n), \; \; \; -\liminf_{n\rightarrow \infty}x_n = \limsup_{n\rightarrow \infty} (-x_n)\]
Proof : Since ${\displaystyle -\sup_{k\geq n}x_k = \inf_{k\geq n}(-x_k) } $. Then \[ -\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{k\geq n}x_k = \lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{k\geq n}(-x_k) \Rightarrow -\limsup_{n\rightarrow \infty}x_n = \liminf_{n\rightarrow \infty}(-x_n)\]
Similarly, ${\displaystyle -\inf_{k\geq n}x_k = \sup_{k\geq n}(-x_k) } $ we can conclude that \[-\liminf_{n\rightarrow \infty}x_n = \limsup_{n\rightarrow \infty} (-x_n)\]

เดี๋ยวมีชุด limsup กะ liminf มาต่อครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

6. Suppose $f_n:X \rightarrow [0,\infty ]$ is measurable for each $n\in \mathbb{N}, \; \; f_n\rightarrow f$ pointwise, and ${\displaystyle \int_X f d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty}\int_X f_n d\mu < \infty }$. Prove that \[\int_E f d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n d\mu, \; \; \; \; \forall E \in \mathcal{M}\]

โจทย์เก่าเก็บครับพอดีเพิ่งคิดได้ เลยเอามาถามใหม่
By Fatou's Lemma, we can see that \[ \int_E f d\mu = \int_E \lim_{n \rightarrow \infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n d\mu \]
Since $f_n\chi_E \leq f_n \; \; \Rightarrow \; \; f_n - f_n\chi_E \geq 0 $. Apply Fatou's Lemma again, \[ \int_X \lim_{n\rightarrow \infty} (f_n - f_n\chi_E) d\mu \leq \liminf_{n\rightarrow \infty} \left(\int_X f_n d\mu -\int_X f_n\chi_E d\mu\right) \; \; ....(*)\]
Hence, \[ \int_X f d\mu - \int_X \lim_{n\rightarrow \infty} f_n\chi_E d\mu \leq \lim_{n\rightarrow \infty} \int_X f_n d\mu - \limsup_{n\rightarrow \infty}\int_X f_n\chi_E d\mu\ \]
\[ \int_E f d\mu \geq \limsup_{n\rightarrow \infty}\int_E f_n d\mu \; \; \; .....(**)\]
(*) and (**) imply that \[\int_E f d\mu = \lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n d\mu, \; \; \; \; \forall E \in \mathcal{M}\]

[nooonuii]

I use the Lebesgue Dominated Convergence Theorem with the sequence $f_n\chi_E$.