โจทย์เด็ก ๆ

[Siren-Of-Step]

1. กำหนดให้ $sin 15$ และ $cos 15$ เป็นรากของสมการ $x^2 +ax+b = 0$ แล้วค่าของ $a^4 - b^2$
2. cos$\theta$ - sin$\theta$ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$

$sin2\theta$ = ?

3. จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชั่น

$f(x) = \frac{sinx}{\sqrt{1-cos^2x}}+\frac{cosx}{\sqrt{1-sin^2x}}+\frac{tanx}{\sqrt{sec^2x-1}}+\frac{cotx}{\sqrt{csc^2x-1}}$
4. $\frac{sin30}{sin10}-\frac{cos30}{cos10} = ?$
หวังว่าคงจะง่ายสำหรับพี่ๆ ม.ปลายนะครับ

[~VesCuLaR~]

ผมเด็กใหม่อ่ะครับคำว่า "รากของสมการ" คืออะไรหว่า

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~VesCuLaR~

ผมเด็กใหม่อ่ะครับคำว่า "รากของสมการ" คืออะไรหว่า

รากของสมการ = คำตอบของสมการ

[อยากเข้าใจคณิต(LoveMaths)]

โจทย์ม.ต้นใช่ไหมครับ 555+
sin15 กับ cos15 ถ้าจะหาค่าของทั้งสองค่านี้แล้วไปเทียบสัมประสิทธิ์กับสมการได้รึปล่าวครับ
แต่ sin15 กับ cos15 นี่หาไม่เป็นครับ เช่น sin15 ลองมองเป็น sin(60-45) แต่สูตรนี้ก็จำไม่ได้แล้วครับ
รู้สึกว่าจะเป็น sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB (ถ้าเป็นบวกก็เปลี่ยนเครื่องหมาย) สูตรนี่มันใช้ได้ไหมครับ
โห สงสัยเยอะจริงๆ เรา
ขอบคุณมากครับ

[-InnoXenT-]

1. $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$

$a = -\sin{15}^{\circ} - \cos{15}^{\circ} $ ---> $a^2 = 1+\sin{30}^{\circ} = \frac{3}{2}$
$b = \frac{1}{2}\sin{30}^{\circ}$ ---> $b^2 = \frac{1}{4}*\frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$a^2+b^2 = \frac{25}{16}$
$a^2-b^2 = \frac{23}{16}$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = \frac{575}{256}$

2. ยกกำลังสองทั้งสมการ จะได้

$1 - \sin{2\theta} = \frac{5}{9}$
$\sin{2\theta} = \frac{4}{9}$

ถ้าคิดเลขไม่ผิดนะ - -"

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

1. $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$

$a = -\sin{15}^{\circ} - \cos{15}^{\circ} $ ---> $a^2 = 1+\sin{30}^{\circ} = \frac{3}{2}$
$b = \frac{1}{2}\sin{30}^{\circ}$ ---> $b^2 = \frac{1}{4}*\frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$a^2+b^2 = \frac{25}{16}$
$a^2-b^2 = \frac{23}{16}$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = \frac{575}{256}$

2. ยกกำลังสองทั้งสมการ จะได้

$1 - \sin{2\theta} = \frac{5}{9}$
$\sin{2\theta} = \frac{4}{9}$

ถ้าคิดเลขไม่ผิดนะ - -"

ข้อแรกมัน $b^2$ นะครับ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ข้อแรกมัน $b^2$ นะครับ

แนวคิดเดิมครับ

ก็เปลี่ยนเป็น $a^4-b^2=(a^2-b)(a^2+b)$

$a^2=\frac{3}{2}$
$b=\frac{1}{4}$

$\therefore a^4-b^2=(\frac{5}{4})(\frac{7}{4})=\frac{35}{16}$

คิดเลขน้อยลงเยอะเลยครับ

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

4. $\frac{sin30}{sin10}-\frac{cos30}{cos10} = ?$

$$\frac{\sin30^{\circ}}{\sin10^{\circ} }-\frac{\cos30^{\circ} }{\cos10^{\circ} }
=\frac{\sin30^{\circ} \cos10^{\circ}-\cos30^{\circ} \sin10^{\circ}}{\sin10^{\circ} \cos10^{\circ}}
=\frac{\sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{\frac{1}{2}(2\sin10^{\circ} \cos10^{\circ})}
= \frac{\sin(20^{\circ})}{\frac{1}{2}(\sin20^{\circ})}=2$$

[James007]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

3. จงหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชั่น

$f(x) = \frac{sinx}{\sqrt{1-cos^2x}}+\frac{cosx}{\sqrt{1-sin^2x}}+\frac{tanx}{\sqrt{sec^2x-1}}+\frac{cotx}{\sqrt{csc^2x-1}}$

มีเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอยู่ตัวนึงนะครับ...
$\sin^2 x+\cos^2 x = 1$
นำ $\sin^2 x$ หารตลอด
$1+\cot^2 x=\csc^2 x$
แต่ถ้านำ $\cos^2 x$ หารตลอด
$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

จากทั้ง 3 สมการ จะได้ว่า
$\sin x = \pm \sqrt{1-\cos^2x}$
$\cos x = \pm \sqrt{1-\sin^2x}$
$\tan x = \pm \sqrt{\sec^2x-1}$
$\cot x = \pm \sqrt{\csc^2x-1}$

แสดงว่า เศษส่วนแต่ละตัวนั้น เป็นไปได้แค่ 2 ค่า คือ $-1$ กับ $1$
เราก็พิจารณาตัวเศษว่า เป็นบวกหรือลบ (เพราะ ส่วนเป็นบวกอยู่แล้ว)

ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 1 $f(x) = 1+1+1+1=4$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 2 $f(x) = 1+(-1)+(-1)+(-1)=-2$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 3 $f(x) = (-1)+(-1)+1+1=0$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 4 $f(x) = (-1)+1+(-1)+(-1)=-2$

ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $-2$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ James007

มีเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอยู่ตัวนึงนะครับ...
$\sin^2 x+\cos^2 x = 1$
นำ $\sin^2 x$ หารตลอด
$1+\cot^2 x=\csc^2 x$
แต่ถ้านำ $\cos^2 x$ หารตลอด
$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$

จากทั้ง 3 สมการ จะได้ว่า
$\sin x = \pm \sqrt{1-\cos^2x}$
$\cos x = \pm \sqrt{1-\sin^2x}$
$\tan x = \pm \sqrt{\sec^2x-1}$
$\cot x = \pm \sqrt{\csc^2x-1}$

แสดงว่า เศษส่วนแต่ละตัวนั้น เป็นไปได้แค่ 2 ค่า คือ $-1$ กับ $1$
เราก็พิจารณาตัวเศษว่า เป็นบวกหรือลบ (เพราะ ส่วนเป็นบวกอยู่แล้ว)

ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 1 $f(x) = 1+1+1+1=4$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 2 $f(x) = 1+(-1)+(-1)+(-1)=-2$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 3 $f(x) = (-1)+(-1)+1+1=0$
ถ้า $x$ อยู่ใน Quadrant 4 $f(x) = (-1)+1+(-1)+(-1)=-2$

ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $-2$

ปล. Tutor channel ของ พี่ช้าง เดอะ เบรน ครับ

ถูกหมดครับ ปล.2 ข้อสอบ หาได้ที่ www.etvthai.tv