โจทย์อ.โอ๋

[jabza]

$1.กำหนดสมการพหุนาม x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4 = 0 ที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม$ $ โดยมี 3-\sqrt{7} และ -5 + \sqrt{11} เป็นคำตอบของสมการแล้ว la_1 + a_2 + a_3 + a_4 l = ??$


ขอhintหน่อยคับ รู้สึกเหมือน เส้นผมบังภูเขา รู้สึกว่าข้อนี้ตอบ4

[[SIL]]

อาจจะเป็น conjugate ก็ได้นะครับ ^^
ถ้าถามว่า $|1+a_2+a_3+a_4|=?$ ผมได้ 79 ครับ ไม่มั่นใจนะครับ

[jabza]

conjugate อย่างไงคับ ยังไม่เข้าใจคับ

ใครก็ได้ช่วยhintอีกหน่อยนะคับ

[Julian]

ม.ต้น กลายเป็นคอนจูเกตได้ไง??

เพราะว่า $3-\sqrt{7} \ เป็นคำตอบดังนั้น$

ถ้าแทน x ด้วย $3-\sqrt{7}$ ไปก็คงไม่มีปัญหา

แต่คงลำบาก ผมเลยสร้างสมการกำลังสองที่มี $3-\sqrt{7}$ เป็นคำตอบ

ซึ่งก็คือ $x^2-6x+2$

ในทำนองเดียวกันกับ $-5+\sqrt{11}$ ก็จะได้

$x^2+10x+14$

นำสมการพหุนามสองอันมาคูณกัน

ได้ $(x^2-6x+2)(x^2+10x+14) \ = \ x^4+4x^3-44x^2-64x+28$

ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกสัมประสิทธิ์คือ $|4-44-64+28| \ = \ | -76 |$

= 76 ตอบ 76. ครับ

[jabza]

อ๋อ เข้าใจล่ะครับ


รู้สึกว่า เค้าคงไม่ได้เรียกว่าconjugate แต่น่าจะเรียกว่า อินเวอร์สการบวก มากกว่านะครับ - -

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

ม.ต้น กลายเป็นคอนจูเกตได้ไง??
...

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

...
รู้สึกว่า เค้าคงไม่ได้เรียกว่าconjugate แต่น่าจะเรียกว่า อินเวอร์สการบวก มากกว่านะครับ - -

คือ... conjugate ถ้าแปลตรงตัว มันคือ อะไรที่มันเป็นคู่
ในเชิงคณิตศาสตร์็ก็มีหลายความหมาย แล้วแต่จะนำไปใช้
conjugate ที่คุณ Julian พูดถึงคงจะหมายถึง complex conjugate ซึ่ง... ก็ตามชื่อ... ก็อยู่ในเรื่องจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งในไทยไม่ได้สอนในหลักสูตรในระดับม.ต้น

คือ เช่น $3+\sqrt{7},3-\sqrt{7}$ ก็สามารถเรียกได้ว่าเป็น conjugate กัน มันแล้วแต่ว่าเรากำลังกล่าวในเรื่องใดอยู่
ลองศึกษาดูจาก http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_(algebra)

ส่วนสองตัวนี้ไม่ใช่ อินเวอร์สการบวก กัน

สมมติว่ามีสมาชิกในกรุปคือ $a$ เราจะเรียก $b$ ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกทางขวา (Right Inverse) ของ $a$ และ $a$ เป็นอินเวอร์สการบวกทางซ้าย (Left Inverse) ของ $b$ ก็ต่อเมื่อ $a*b=e$ เมื่อ $*$ เป็นโอเปอเรชันในกรุปนั้นๆ และ $e$ คือเอกลักษณ์ (Identity) ของกรุปนั้นๆ
ในกรณีที่ $a$ เป็นทั้งอินเวอร์สการบวกทางซ้ายและขวา ก็จะเรียกว่า เป็นอินเวอร์ส เฉยๆ
ลองศึกษาดูจาก http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_element

ในกรณีนี้ อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง $a$ ก็คือ $-a$ นะครับ

[[SIL]]

ที่ผมคิดเป็น $(x-(3-\sqrt{7}))(x-(3+\sqrt{7}))(x-(-5+\sqrt{11}))(x-(-5-\sqrt{11}))=0$ แล้วก็บึ้ม(คิดเลขผิดอีกแล้ว เฮ้อ!)

[Let it be]

คอนจุเกต = สังยุค แหละครับ ที่จริงมันก็คือเนื้อหา ม.ต้นแหละ เป็นการเรียกจนติดปาก ที่จริงอันนี้เป็น trick ที่สำคัญก็แค่นั้นครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Julian

ผมเลยสร้างสมการกำลังสองที่มี $3-\sqrt{7}$ เป็นคำตอบ

ซึ่งก็คือ $x^2-6x+2$ = 0

ในทำนองเดียวกันกับ $-5+\sqrt{11}$ ก็จะได้

$x^2+10x+14$ = 0

นำสมการพหุนามสองอันมาคูณกัน

ได้ $(x^2-6x+2)(x^2+10x+14) \ = \ x^4+4x^3-44x^2-64x+28$ = 0

ผมขอเสริมในส่วนที่คุณJulian ข้ามไปเพื่อให้เป็นแนวทางนะครับ คงไม่ว่ากันนะครับ

จาก $x = -5+\sqrt{11}$ --> จัดรูปได้ $x+5 = \sqrt{11}$

ยกกำลังสองจะได้ $x^2+10x+25 = 11$ --> จัดรูปใหม่ได้ $x^2+10x+14 = 0$