เอาไป1ข้อ

[[FC]_Inuyasha]

$1 .จงหาจน.นับ n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 11^{n}-1 หารด้วย 105 ลงตัว$
$2. จงหาเลข3หลักสุดท้ายของ 2005^{2005}$

แสดงวิธีทำด้วยนะครับ ปล. ข้อ1.ห้ามสุ่มเลขนะครับ

[Dark matter]

ข้อ 1: 6 ไหมครับ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อ2.ตอบ 125 ถูกต้องนะครับ
ข้อวิธีทำด้วยนะครับ อย่าลืม

[{([Son'car])}]

ข้อ2ครับ
$2005^{2005}=(2000+5)^{2005}$
$=(2000^{2005})+(2000^{2004})(5)+(2000^{2003})(5^2)+...+(2000)(5^{2004})+(5^{2005})$
เนื่องจาก
$\underbrace{(2000^{2005})+(2000^{2004})(5)+(2000^{2003})(5^2)+...+(2000)(5^{2004})}_{มี3หลักสุดท้ายเป็น000} +(5^{2005})$
ดังนั้นพิจจารณา3หลักสุดท้ายจาก$(5^{2005})$
$5^1$สามหลักสุดท้ายคือ$005$
$5^2$สามหลักสุดท้ายคือ$025$
$5^3$สามหลักสุดท้ายคือ$125$
$5^4$สามหลักสุดท้ายคือ$625$
$5^5$สามหลักสุดท้ายคือ$125$
จะเห็นว่าจะวนไปเรื่อยๆดังนั้น$(2005-2)$หารด้วย$2$เหลือเศษ$1$จะได้ว่าหลักหน่อยของ$(2005^{2005})$เป็น$125$ครับ

[[FC]_Inuyasha]

ผมอยากได้วิธีทำข้อ1.น่ะครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ผมอยากได้วิธีทำข้อ1.น่ะครับ

$11^2\equiv 1(\rm mod\ 3)$
$11\ \equiv 1(\rm mod\ 5)$
$11^3\equiv 1(\rm mod\ 7)$

[[FC]_Inuyasha]

จับสามสมการมาคูรกันได้ไหมครับ ได้เป็น $11^{6}\equiv 1 (mod 105)$ แล้วก็ $-1$อีกทีก็ $\equiv 0$ พอดี มีคุณสมบัตินี้มั้ยครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

จับสามสมการมาคูรกันได้ไหมครับ ได้เป็น $11^{6}\equiv 1 (mod 105)$ แล้วก็ $-1$อีกทีก็ $\equiv 0$ พอดี มีคุณสมบัตินี้มั้ยครับ

ไม่มีสมบัติการคูณระหว่างสมการแบบนั้นครับ

ยกเว้นแต่จะให้เหตุผลอื่นที่ยอมรับได้

[[FC]_Inuyasha]

แล้วจะเอาข้อแนะนำของคุณ Amankris มาใช้ได้อย่างไรครับ

[Amankris]

$11^2\equiv 1(\rm mod\ 3)$ ---> $11^6\equiv 1(\rm mod\ 3)$
$11\ \equiv 1(\rm mod\ 5)$ ---> $11^6\equiv 1(\rm mod\ 5)$
$11^3\equiv 1(\rm mod\ 7)$ ---> $11^6\equiv 1(\rm mod\ 7)$

[Influenza_Mathematics]

เอาไปฝึกอีกข้อครับ
ให้ $F(x)$ และ $G(x)$ เป็นพหุนามไม่เกินดีกรี $n$
ถ้ามี $c_0,c_1,c_2,...,c_n$ ซึ่งแตกต่างกันทุกตัวที่ทำให้ $F(c_i) = G(c_i) , i=0,1,2,3,...,n$ แล้ว $F(x) = G(x)$

[[FC]_Inuyasha]

แล้ว เราสามารถสรุปได้เลยหรือครับว่า $11^{6}\equiv 1 (mod3x5x7)$ ถ้าได้แล้วเพราะเหตุใด?

[Amankris]

#12 ใช้การหารลงตัวทำได้ครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

เอาไปฝึกอีกข้อครับ
ให้ $F(x)$ และ $G(x)$ เป็นพหุนามไม่เกินดีกรี $n$
ถ้ามี $c_0,c_1,c_2,...,c_n$ ซึ่งแตกต่างกันทุกตัวที่ทำให้ $F(c_i) = G(c_i) , i=0,1,2,3,...,n$ แล้ว $F(x) = G(x)$

ให้ $F\not= G$ และ ให้ $P(x)$ เป็นพหุนามที่ $P(x)=F(x)-G(x)$ จะได้ว่าดีกรีของ $P(x)$ ไม่เกิน $n$
และ $P(x)=0$ สำหรับ $x=c_0,c_1,...,c_n$ จะได้ว่า $P(x)=A(x-c_0)(x-c_1)...(x-c_n)$ เมื่อ $A\in \mathbb{R} $-{0}
ซึ่งจะได้ว่า $P(x)$ มีดีกรีเท่ากับ $n+1$ เกิดข้อขัดแย้ง

[[FC]_Inuyasha]

เคยได้ยินแต่ ถ้า $n หารด้วย a ,b และ c แล้ว n จะหารด้วย abc ลงตัว$
มีด้วยหรือครับที่ ถ้า $n หารด้วย a ,b และ c เหลือเศษ r เท่ากันแล้ว จะหารด้วย abc เหลือเศษ r ด้วย$