มาเล่นกัน ^.^!!

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เออแต่พอผมลองแก้ดูเองดันได้คำตอบเพิ่มอีก 2 คำตอบซะงั้น
คือ (0,0) กับ (1,0) สงสัยจะต้องตอบว่า 2012 (เลขสวย)แล้วครับ
คุณNe[S]zA

[-SIL-]

ไม่รู้ว่ายากมั้ยนะครับแต่น่าจะสวยดี ^^ (ขอบคุณที่ปลุก )

- ให้ A,B,C เป็นมุมของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน และเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงหา $\frac{sinA+sinB+sinC}{cosA+cosB+cosC}$
ตอบ $\sqrt{3}$

[jabza]

อ่าหะ ตอบ$\sqrt{3} $จริงๆด้วยคับ

$วิธีที่ผมทำก็ กำหนดให้ A = B - d , C = B + d ซึ่งจะได้เป็นจำนวนเลขคณิต$
$จากนั้น ก็เอาจากที่เค้าต้องการให้หา มาใช้สูตรsin(A\pm B) = sinAcosB \pm cosAsinB$
$และก็ cos(A\pm B) = cosAcosB\mp sinAsinB $

$ก็จะออกมา จะได้สิ่งที่เค้าต้องการให้หา = tanB ซึ่งไปหาBได้ 60$

ข้อต่อไปครับ สวยมากๆ ประยุกต์2-3อย่างเข้าด้วยกัน เอามาคั่วๆๆ

1.ให้x,y,z เป็นจำนวนจริงใดๆ กำหนดให้

$cosx+cosy+cosz = \frac{3}{2} และ sinx+siny+sinz = \frac{3\sqrt{3}}{2} $
$จงหาx,y,zทั้งหมดครับ$

[Ne[S]zA]

$x=y=z=\dfrac{\pi}{3}$ หรือเปล่าครับ
ปล.หรือมีมากกว่านี้

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

น่าจะผิดนะครับ
จะได้ $-2$($\frac{1}{1}$ +$\frac{1}{4}$ +$\frac{1}{9}$ +...+$\frac{1}{2011^2}$ )
เท่าที่ผมรู้มา $\frac{1}{1}$ +$\frac{1}{4}$ +$\frac{1}{9}$ +.... = $\frac{\pi ^2}{6}$
แต่โจทย์ไม่ได้บวกไปถึงอินฟินิตี้ก้อเลยไม่น่าจะถูกครับ
ขอโจทย์ที่ไม่ตั้งเองไม่ได้เหรอครับ

[Ne[S]zA]

ขอโทษนะครับคงผิดจริงๆด้วยครับ กะเล่นกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ขอลบออกแล้วนะครับ
ไม่ตั้งเองละกันครับ ง่ายๆละกัน
The geometric series $a+ar+ar^2+...$ has a sum of $7$ and the terms involving odd power of $r$ has sum of 3.
What is $a+r$?

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

$a+ar+ar^2+...$ = $\frac{a}{1-r}$ = 7 ....(1)

$ar+ar^3+ar^5+...$ = $\frac{ar}{1-r^2}$ =3...(2)

นำ (1)$\div$ (2)

จะได้ $r=\frac{3}{4} $ และ $ a=\frac{7}{4} $

a+r = 2.5 ไม่รู้ว่าผมแปลถูกไหมครับ

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$x=y=z=\dfrac{\pi}{3}$ หรือเปล่าครับ
ปล.หรือมีมากกว่านี้

ใกล้เคียงแล้วคับ แต่ยังมีมากกว่านี้ ลองตอบในรูป n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม ได้มั้ยคับ

[Ne[S]zA]

$x=y=z=2n\pi +\dfrac{\pi}{3}$ หรือเปล่าครับ
ของคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย ถูกละครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เอาอีกครับ กำลังเพลินครับ

[-SIL-]

ขอใช้สิทธิ์

- ให้ A,B,C เป็นมุมของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน จงหาขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของ sinA+sinB+sinC
ตอบ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

[jabza]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$x=y=z=2n\pi +\dfrac{\pi}{3}$ หรือเปล่าครับ
ของคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย ถูกละครับ

ว้าว เจ๋งจริงๆ พี่Ne[S]zA คิดออกด้วย ผมนั่งดูเฉลยยังคิดว่า เปนโจทย์ที่สวยมากเลยน่ะคับ

ถ้าให้ดีขอแนวคิดได้มั้ยคับ ว่ามันตรงกันมั้ย

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ว้าว เจ๋งจริงๆ พี่Ne[S]zA คิดออกด้วย ผมนั่งดูเฉลยยังคิดว่า เปนโจทย์ที่สวยมากเลยน่ะคับ

ถ้าให้ดีขอแนวคิดได้มั้ยคับ ว่ามันตรงกันมั้ย

จาบอกว่าผมมั่วมากกว่าเหอๆๆ
ดูละกัน
ให้ $\sin x=a, \sin y=b, \sin z=c$ และ $\cos x =u,\cos y=v,\cos z=w$
จะได้ว่า $(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+vw+wu)=\dfrac{9}{4}$___(1)
และ $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=\dfrac{27}{4}$___(2)
(1)+(2);$1+1+1+2(uv+ab+vw+bc+wu+ca)=6$
จะได้ว่า $\cos(x-y)+cos(y-z)+cos(z-x)=\dfrac{3}{2}$
ถึงตรงนี้ ตอนนั้นนึกอะไรไม่ออก รู้ว่า $\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$
จึงสรุปเลยว่า $\cos(x-y)=\cos(y-z)=\cos(z-x)=\dfrac{1}{2}$
จึงได้ว่า $x=y=z=2n\pi +\dfrac{\pi}{3}$
ก็ไม่รู้ว่าทำไมจึงสรุปแบบนั้นอ่ะครับ เหอๆ รบกวนผู้ที่ใช้วิธีที่ดีกว่ามาเฉลยีกว่าครับ

[-SIL-]

ลองยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วจับมาบวกกันดูครับ (จะได้ $x=y=z$ )

[-InnoXenT-]

ต่อให้นะ ถ้าผมจำไม่ผิด เท่าที่ทดดู มันจะได้

$\cos{(x-y)} + \cos{(y-z)} + \cos{(z-x)} = 3$

ดังนั้น จะมีกรณีที่เป็นไปได้กรณีเดียว ก็คือ $\cos{(x-y)} = \cos{(y-z)} = \cos{(z-x)} = 1$

ดังนั้น $x = y = z$

ข้อต่อไป ผมโพสท์เลยละกัน XD

จงหาผลรวมสมาชิกทั้งหมดในเซตคำตอบของสมการ

$$\sum_{i = 1}^{11} \left| x-i \right| = 55 $$