โจทย์จำนวนเชิงซ้อน (entrance)

[GunUltimateID]

Ent (มีนา, 45)
19.กำหนดให้ จำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,z_3$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่ง
ถ้า
$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = cos \frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}$
$z_1z_2=1+i$
$z_2z_3=2+2i$
$z_3z_1=3+4i$
แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}=cos \frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}$
ข. $z^2_1+z^2_2+z^2_3=6+7i$

คำตอบคือ ก ผิด ข ถูก
อยากรู้วิธีทำข้อ ข ครับ คือว่าวิธีทำในหนังสือเฉลยมันค่อนข้างจะถึกเลยคิดว่าวิธีมันไม่ค่อยจะดีซักเท่าไหร่

[-InnoXenT-]

ทำข้อ ก. ก่อนครับ เพราะมันง่าย

$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = cos\frac{\pi}{3} + isin\frac{\pi}{3}$

$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} - 1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - 1$

$\frac{z_3-z_1-z_2+z_1}{z_2-z_1} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = cos\frac{5\pi}{3} + isin\frac{5\pi}{3}$

[cZech_kUnG]

ผมทำผิดยังไงอะดูให้ทีคับ

$z_1z_2 = 1+i.............(1)$

$z_2z_3 = 2(1+i).........(2)$

$z_3z_1 = 3+4i..........(3)$

$\frac{(1)(3)}{(2)} : z_1^2 = \frac{3+4i}{2} ...........(1^')$


$\frac{(1)(2)}{(3)} : z_2^2 = \frac{4i}{3+4i} ..........(2^')$

$\frac{(2)(3)}{(1)} : z_3^2 = 2(3+4i) =6+8i ............(3^')$

$ (1')+(2')+(3') = z_1^2+z_2^2+z_3^3 = \frac{407+524i}{50} $

[GunUltimateID]

เออ ไม่รุว่าผิดตรงไหนเหมือนกัน
แต่วิธีคิดดีมากเลยอะ นึกไม่ถึงเลย

[-InnoXenT-]

ขอพิจารณาอีกรอบ - -a เพราะว่า ลืมอ่านตรงสามเหลี่ยมด้านเท่าไป ก็เลยงง

โจทย์ข้อนี้ ผมว่าผิดนะครับ เพราะว่า

ถ้า $z_1 ,z_2 ,z_3$ เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ว่า

$z_1^2+z_2^2+z_3^2 = z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 6+7i$

แต่เมื่อคิดตาม rep บน จะพบว่า โจทย์ผิดครับ

[GunUltimateID]

แต่ในเฉลยมันก็ทำถูกนะ โจทย์ไม่ผิดหรอกมั้ง แต่ข้างบนเค้าก็ทำไม่มีที่ผิดอะ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GunUltimateID

แต่ในเฉลยมันก็ทำถูกนะ โจทย์ไม่ผิดหรอกมั้ง แต่ข้างบนเค้าก็ทำไม่มีที่ผิดอะ

ถ้าจะเช็ค ก็ลองหา $z_1 ,z_2 ,z_3$ ดูครับ แล้วนำไปพลอตกราฟ แล้วดูว่าเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่ารึเปล่า

[cZech_kUnG]

ไหนๆกระทู็นี้ก็เชิงซ้อนละ สงสัยข้อนึง
(Ent 47 ตุลา)
$ถ้า Aเป็นเซตคำตอบของสมการ z^{14}=i$

$ถ้า B เป็นเซตคำตอบของสมการ z^{22}=i$

$แล้ว จำนวนสมาชิกของ A\cap B เท่ากับเท่าไร $

ถ้าคิดตรงๆก็ออกง่ายๆ แต่ มีวิธีที่ไม่ต้องนั่งไล่ปะคับ ถ้าเกิดมันยกกำลังมากกว่านี้ขึ้นมา

ปล รู้สึกจะตอบได้เลยว่า จำนวนคำตอบเท่ากับ (a,b) ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นอะ (เมื่อ a ,b เป็นเลขชี้กำลัง)

[square1zoa]

สังเกตว่า คำตอบเป็น $cis(\pi /2+2k\pi)/n$ เมื่อ $n=14,22$ และ $k=0,1,...,n-1$

นั่นคือ ต้องเป็นมุมเดียวกัน กล่าวคือ $$[1/2+2a]/14=[1/2+2b]/22$$ เมื่อ $a=0,1,2,...,13 , b=0,1,2,...,21$

โดยสมการดังกล่าว สมมูลกับ $7a\equiv 1 (mod11)$ ได้ $a=8,b=5$

ดังนั้น คำตอบที่ต้องการคือ $cis(\pi /2+10\pi )/14=cis(\pi /2+16\pi)/22=cis3\pi /2$

ตามต้องการ

และจำนวนคำตอบของ $A\cap B$ นั้น ขอลองคิดดูอีกที

[GunUltimateID]

$cis$ คืออะไรหรอครับ

[Aphenisol]

\[
cis(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x
\]