แก้ระบบสมการจำนวนจริง

[ShaDoW MaTH]

$ x^{2}-|x| = |yz| $
$ y^{2}-|y| = |zx| $
$ z^{2}-|z| = |xy| $
จงหาค่า x,y,z

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$x^2=|x|^2$ แล้วก็ พิจรณาสมการ $a^3-a^2=0$

ทำไม $a^3-a^2=0$ อ่ะครับ
ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[-SIL-]

ลองให้ $|x|=a,|y|=b,|z|=c$ ดูครับ

[LightLucifer]

ขอโทษทีครับ รีบโพสไปไหน่อย 55+
เอาใหม่ๆ ให้ $a=|x|,b=|y|,c=|z|$
ได้สมการ
ถ้า มีตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 เช็คได้ไม่ยากว่าคำตอบคือ $(x,y,z)=(0,0,0),(0,0,\pm 1),(0,\pm 1,0),(\pm 1,0,0)$
ถ้าไม่มีผมว่ามันเป็นอนันต์นะ
จับสมาการคูณแรกคูณกับสมการที่สองจะได้
$(a-1)(b-1)=c^2\rightarrow c^2=ab-a-b+1=c^2-c-a-b+1\rightarrow a+b+c=1$
จะได้
$b+(a-1)+c=0\rightarrow b^2+(a-1)b+bc=0\rightarrow b^2+(a-1)b+(a^2-a)=0$
ได้
$b=\frac{1-a\pm \sqrt{-3a^2+2a+1} }{2}$
ทำคล้ายๆดันจะได้
$c=\frac{1-a\mp \sqrt{-3a^2+2a+1} }{2}$
โดยที่ทั้ง $b,c$ ขึ้นอยู่กับ $a$ จึงเป็นอนันต์
ซึ่งถ้า $b \ge 0$ แล้ว $c \le 0$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

[-SIL-]

ให้ $a=|x|,b=|y|,c=|z|$
นำทั้งสามสมการมาจับลบกันที่ละคู่ จะได้ $a=b=c$ หรือ $a+b+c=1$
ถ้า $a=b=c$ จะได้ $(a,b,c)=(0,0,0)$
ถ้า $a+b+c=1$ พิจารณาระบบสมการ
(1).... $$a^2-a=bc$$
(2).... $$b^2-b=ca$$
(3).... $$c^2-c=ac$$

นำ (1)+(2)-(3) และแทนค่า $a+b=1-c$ จะได้ $c=0,1$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ขอโทษทีครับ รีบโพสไปไหน่อย 55+
เอาใหม่ๆ ให้ $a=|x|,b=|y|,c=|z|$
ได้สมการ
ถ้า มีตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 เช็คได้ไม่ยากว่าคำตอบคือ $(x,y,z)=(0,0,0),(0,0,\pm 1),(0,\pm 1,0),(\pm 1,0,0)$
ถ้าไม่มีผมว่ามันเป็นอนันต์นะ
จับสมาการคูณแรกคูณกับสมการที่สองจะได้
$(a-1)(b-1)=c^2\rightarrow c^2=ab-a-b+1=c^2-c-a-b+1\rightarrow a+b+c=1$
จะได้
$b+(a-1)+c=0\rightarrow b^2+(a-1)b+bc=0\rightarrow b^2+(a-1)b+(a^2-a)=0$
ได้
$b=\frac{1-a\pm \sqrt{-3a^2+2a+1} }{2}$
ทำคล้ายๆดันจะได้
$c=\frac{1-a\mp \sqrt{-3a^2+2a+1} }{2}$
โดยที่ทั้ง $b,c$ ขึ้นอยู่กับ $a$ จึงเป็นอนันต์

จะบอกว่าไม่จริงครับ ไม่อนันต์

คำตอบคือ $(x,y,z)=(0,0,0),(0,0,\pm 1),(0,\pm 1,0),(\pm 1,0,0)$

[ShaDoW MaTH]

ขอบคุณมากครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จะบอกว่าไม่จริงครับ ไม่อนันต์

คำตอบคือ $(x,y,z)=(0,0,0),(0,0,\pm 1),(0,\pm 1,0),(\pm 1,0,0)$

อ่อ ลืมไปว่าถ้า $b \ge0 $ แล้ว $c \le 0$ ขอบคุณครับที่ชี้จุดนี้

[หยินหยาง]

#8 ไม่ใช่จะบอกจุดนี้ เพียงแต่ว่าวิธีที่คิดยังมีจุดบกพร่องอีกหลายแห่ง เช่น ตอนกำหนด a,b,c ต้องไม่ลืมว่ามีค่า มากกว่าเท่ากับ 0 หรืออย่างตอนที่เอา ab หารตลอดรู้ได้อย่างไรว่า ab ไม่เท่ากับ 0 หรือตอนแก้หา b,c รู้ได้อย่างไรว่า มีค่า a ที่ทำให้เกิด b,c แล้วสอดคล้องกับสมการ ......โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...

[LightLucifer]

โดนแซวเลย 55+
1. ตอนที่เอา ab หารตลอดรู้ได้อย่างไรว่า ab ไม่เท่ากับ 0
กำหนดกรณีไว้แล้วอ่ะครับว่าไม่มีตัวใดเป็น 0
2. ตอนแก้หา b,c รู้ได้อย่างไรว่า มีค่า a ที่ทำให้เกิด b,c แล้วสอดคล้องกับสมการ
ที่จริงผมทดไว้แล้วอ่ะครับว่า ถ้า $0 \le a <1$ แล้ว $-3a^2+2a+1 \ge 0$ แต่ลืมเช็คไปว่า $b,c$ มันไม่เป็นบวกพร้อมกัน

[ShaDoW MaTH]

ขอรบกวนเรื่องบันไดหน่อยนะครับ

บันไดอันหนึ่งมีอยู่ 10 ขั้น ซูซานต้องการขึ้นบันไดอันนี้จากพื้นล่างสุดไปยังบันไดขั้นบนสุด ในการก้าวขึ้นแต่ละครั้งซูซานสามารถก้าวขึ้นได้ทีละ 1 ขั้น หรือทีละ 2 ขั้น หรือทีละ 3 ขั้นเท่านั้น ถามว่าซูซานจะมีวิธีการขึ้นบันไดจากพื้นล่างจนถึงขั้นที่สิบได้ทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน

ผมคิดแล้วแต่ผมไม่แน่ใจว่าถ้าเราสับเดินครั้งที่1กับครั้งที่2มันจะเป็นวิธีการเดินแบบเดียวกันเปล่าเช่น
เดิน 3 3 3 1 กับ 1 3 3 3 กับ 3 1 3 3 เหมือนกันมั้ยครับ

[~ToucHUp~]

11วิธีปะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

โดนแซวเลย 55+
1. ตอนที่เอา ab หารตลอดรู้ได้อย่างไรว่า ab ไม่เท่ากับ 0
กำหนดกรณีไว้แล้วอ่ะครับว่าไม่มีตัวใดเป็น 0
2. ตอนแก้หา b,c รู้ได้อย่างไรว่า มีค่า a ที่ทำให้เกิด b,c แล้วสอดคล้องกับสมการ
ที่จริงผมทดไว้แล้วอ่ะครับว่า ถ้า $0 \le a <1$ แล้ว $-3a^2+2a+1 \ge 0$ แต่ลืมเช็คไปว่า $b,c$ มันไม่เป็นบวกพร้อมกัน

เมื่อบอกว่า กำหนดกรณีไว้แล้วอ่ะครับว่าไม่มีตัวใดเป็น 0 ในข้อ 1(นั่นต้องหมายถึงทั้ง a และ b ไม่เท่ากับ 0) แล้วทำไมข้อ 2 ถึงใช้ ถ้า $0 \le a <1$ แล้ว $-3a^2+2a+1 \ge 0$ เพราะสิ่งที่พิสูจน์ ต่อมาคือผลพลอยได้ที่มาจาก a+b+c = 1 ไม่ใช่หรือ ซึ่งก็เป็นเงื่อนไขเดิม ที่ a และ b ไม่เท่ากับ 0
แล้วทำไมไปสรุปว่า ซึ่งถ้า $b\ge 0 $ แล้ว $c \le 0$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
อันที่จริงจะทำแบบนี้ก็ได้แต่ควรทำเป็น
$ab[(a-1)(b-1)-c^2] = ab(a+b+c-1) = 0$ แล้วก็ไปพิจารณาแต่ละกรณ๊น่าจะไม่สับสน

หรืออาจทำคล้ายๆ คือ สมการ 1*สมการ 2 แต่ผมคูณแบบนี้จะได้
$(a^2-a)(ca) = (b^2-b)(bc)$
$c(a-b)(a^2+ab+b^2-1)=0$
พิจารณากรณีที่ $c=0, a=b$ ส่วน $(a^2+ab+b^2-1)\not= 0$ เพราะอะไร.... แล้วก็เช็คคำตอบ ก็จะได้คำตอบตามต้องการ

[ShaDoW MaTH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

11วิธีปะครับ

ผมคิดได้ 9 วิธีครับ
1) 1111111111
2) 22222
3) 3331
4) 222211
5) 2221111
6) 22111111
7) 211111111
8) 331111
9) 31111111
มีอะไรอีกมั้ยครับช่วยดูให้หน่อยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

ขอรบกวนเรื่องบันไดหน่อยนะครับ

บันไดอันหนึ่งมีอยู่ 10 ขั้น ซูซานต้องการขึ้นบันไดอันนี้จากพื้นล่างสุดไปยังบันไดขั้นบนสุด ในการก้าวขึ้นแต่ละครั้งซูซานสามารถก้าวขึ้นได้ทีละ 1 ขั้น หรือทีละ 2 ขั้น หรือทีละ 3 ขั้นเท่านั้น ถามว่าซูซานจะมีวิธีการขึ้นบันไดจากพื้นล่างจนถึงขั้นที่สิบได้ทั้งหมดกี่วิธีที่แตกต่างกัน

ผมคิดแล้วแต่ผมไม่แน่ใจว่าถ้าเราสับเดินครั้งที่1กับครั้งที่2มันจะเป็นวิธีการเดินแบบเดียวกันเปล่าเช่น
เดิน 3 3 3 1 กับ 1 3 3 3 กับ 3 1 3 3 เหมือนกันมั้ยครับ

การเดินลงหรือขึ้นบันได ลำดับที่ต่างกัน เราจะถือว่าเป็นคนละวิธีกันครับ การทำโดยใช้วิธีเรียงสับเปลี่ยนอักษรซ้ำนั้นทำได้ก็จริง แต่ช้าและเสียเวลาครับ วิธีที่ดีคือใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation)

http://www.mathcenter.net/forum/show...BA%D1%B9%E4%B4