ฝึกอินทิเกรตกัน

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

แก้latexให้อิอิ

ฝากโจทย์



เฉลย....(ทำเองอิๆ)
http://integrals.wolfram.com/index.jsp

อ่าขอบคุณคับ

ข้อ1) improperintegral $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+2)(x+3)}=lim_{a\to\infty}\int_0^a(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})$

$\lim_{a\to\infty}ln\frac{|x+2|}{|x+3|} ]_{0}^{a}$

$\lim_{a\to\infty}\frac{|a+3|}{|a+2|}-lim_{a\to\infty}\frac{2}{3}$

$\frac{\infty}{\infty}-ln\frac{2}{3}$

indeterminatefrom $\frac{ติฟเศษ}{ดิฟส่วน}$

หา $lim^{a\to\infty}e^{ln\frac{a+3}{a+2}}$

[Ne[S]zA]

ผมใช้ by parts 2 ครั้ง ก็ออกมาได้ว่า
$$\int e^{-x} \sin 3x dx = -\frac{e^{-x}}{10}(3\cos 3x+\sin 3x)+C$$
ที่เหลือก็ improper integral ทำไม่เป็นแล้วครับอิอิ ยังไม่ได้อ่าน

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

อ่าขอบคุณคับ

ข้อ1) improperintegral $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+2)(x+3)}=lim_{a\to\infty}\int_0^a(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})$

$\lim_{a\to\infty}ln\frac{|a+2|}{|a+3|}-\lim_{a\to\infty}ln\frac{2}{3}$

$\lim_{a\to\infty}\frac{|a+3|}{|a+2|}-lim_{a\to\infty}ln\frac{2}{3}$

$\frac{\infty}{\infty}-ln\frac{2}{3}$

indeterminatefrom

หา $lim_{a\to\infty}e^{ln(ln\frac{a+3}{a+2})}$

ตอบ $e-ln\frac{2}{3}$ ปล. ไม่มั่นใจนะคับเพราะไม่ได้ใช้มานานแหละ

[[SIL]]

รบกวนตรวจด้วยครับ
$\int arctanx dx$

วิธีทำ

ให้ $arctanx = y , x = tany , dx = sec^2ydy$
จะได้ $\int arctanx dx = \int ysec^udy$
เพราะว่า $uv-\int v du = \int v du$ ––––––––(i)
จาก (i) ให้ $dv = sec^2ydy , v = tany , \int v = ln|secy|$ ––––––––(ii)
จาก (i) ให้ $u = y , du = 1$ ––––––––(iii)
แทน (ii) และ (iii) ลงใน (i) จะได้ $ytany - ln|secy| = \int ysec^2ydy$
จาก $y = arctanx$ จะได้ $\int arctanx dx = xarctanx-ln\sqrt{1+x^2}+c$

[Ne[S]zA]

ผมทำงี้ครับ
$\int \arctan x dx$
ให้ $u=\arctan x$ ได้ $du=\frac{1}{x^2+1}dx$ และ $dv=dx$ ได้ $v=x$
ดังนั้น $\int \arctan x dx=x\arctan x -\int \frac{x}{x^2+1}dx$
คิด $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ ได้ $\int \frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{d(x^2+1)}{2x}=\ln |x^2+1|+c$
เพราะฉะนั้น $\int \arctan x dx=x\arctan x - \ln |x^2+1|+c$ ครับ
ปล.ไปก่อนเน้อบายครับ
$$\int \arctan x dx=x\arctan x - \ln |x^2+1|+c$$

[[SIL]]

ข้อนี้ตอบแบบนี้หรือเปล่าครับ
$$\int x^2\sqrt{1-x^2} dx = 2x^2(1-x^2)(\sqrt{1-x^2}+\frac{x}{4})+c$$

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ข้อ 2 ตอบ $\sqrt{2}arctan(\sqrt{2})$ หรือปล่าวครับ ทดแป๊ปๆ

ไม่ใช่ครับ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ผมทำงี้ครับ
$\int \arctan x dx$
ให้ $u=\arctan x$ ได้ $du=\frac{1}{x^2+1}dx$ และ $dv=dx$ ได้ $v=x$
ดังนั้น $\int \arctan x dx=x\arctan x -\int \frac{x}{x^2+1}dx$
คิด $\int \frac{x}{x^2+1}dx$ ได้ $\int \frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{d(x^2+1)}{2x}=\ln |x^2+1|+c$
เพราะฉะนั้น $\int \arctan x dx=x\arctan x - \ln |x^2+1|+c$ ครับ
ปล.ไปก่อนเน้อบายครับ
$$\int \arctan x dx=x\arctan x - \ln |x^2+1|+c$$

ถูกต้องน๊าคับ

[gnopy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

ไม่ใช่ครับ

เหอะๆสงสัยเมา ดันคิด $\frac{arctan\sqrt{2}+arctan{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2}}$ $=\sqrt{2}arctan(\sqrt{2})$ ซึ่งมันไม่ถูก สรุปมายืนยันคำตอบครับ
ได้
$\frac{arctan\sqrt{2}+arctan{\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2}}$

ส่วนข้อสุดท้ายผมคิดได้ e ครับ


ปล กระทู้นี้ปั่นกันเร็วจริงๆ ผมเลยถือโอกาสมาฟื้นฟูความรู้สักหน่อย สู้ๆนะครับน้องๆ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx$$
let
$$x=\sin \theta, dx=\cos \theta d\theta$$
Substitute
$$\int \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta=\frac{1}{4}\int 1-\cos^2(2\theta ) d\theta$$
$$=\frac{1}{4}[\int 1 d\theta -\int \cos^2 (2\theta ) d\theta ]$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}(1+\cos(4\theta )) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}\int 1+\cos(4\theta ) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}[\int 1 d\theta + \frac{1}{4}\int \cos (4\theta ) d(4\theta)]$$
$$=\frac{\theta }{4}-\frac{1}{8}(\theta + \frac{\sin (4\theta)}{4})+c$$
$$=\frac{1}{4}\arcsin x -\frac{1}{8}(\arcsin x +\frac{\sin 4(\arcsin x)}{4})+c$$
ปล.ข้อที่แล้วดึงตัวร่วมยังไงหรอครับ

งงตรงบรรทัดที่ 3 คับมาไงน้อ ?? ยังไม่ถุกคับ

[cenia]

ขอโทษที่ขัดจังหวะนะครับ คือผมไม่ค่อยแน่นเรื่องการอินทิเกรตมากๆ อยากถามทุกท่านหน่อยว่า

ถ้าเราเจอโจทย์อินทิเกรตที่ตัวเลข ยกกำลัง x เราต้องใ้ช้สูตรอย่างไรครับ (เหมือนโจทย์ข้อหนึ่ง) หามานานแล้ว ไปดูวิธีทำของ REP ด้านล่าง ก็เหมือนจะได้สูตรว่า

$\int\sqrt{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}$

ใช่ไหมครับ ?

รบกวนด้วยครับ

[JamesCoe#18]

ตอบคุณ cenia

ใช่คับ $\int a^u=\frac{a^u}{lna}+C$

ต้องบวกค่าคงที่ C ด้วยนะคับเพราะเป็นอินทริกัลไม่จำกัดเขต

[cenia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

ตอบคุณ cenia

ใช่คับ $\int a^udx=\frac{a^u}{lna}+C$

ต้องบวกค่าคงที่ C ด้วยนะคับเพราะเป็นอินทริกัลไม่จำกัดเขต

ขอบคุณมากครับ



งั้นขออณุญาติถามอีกคำถามในนี้เลยแล้วกันครับ

ถามว่า ด้านล่างถูกหรือไม่ครับ

$\int u dx = \int du $

รบกวนด้วยครับ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx$$
let
$$x=\sin \theta, dx=\cos \theta d\theta$$
Substitute
$$\int \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta=\frac{1}{4}\int 1-\cos^2(2\theta ) d\theta$$
$$=\frac{1}{4}[\int 1 d\theta -\int \cos^2 (2\theta ) d\theta ]$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}(1+\cos(4\theta )) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}\int 1+\cos(4\theta ) d\theta$$
$$=\frac{\theta}{4}-\frac{1}{8}[\int 1 d\theta + \frac{1}{4}\int \cos (4\theta ) d(4\theta)]$$
$$=\frac{\theta }{4}-\frac{1}{8}(\theta + \frac{\sin (4\theta)}{4})+c$$
$$=\frac{1}{4}\arcsin x -\frac{1}{8}(\arcsin x +\frac{\sin 4(\arcsin x)}{4})+c$$
ปล.ข้อที่แล้วดึงตัวร่วมยังไงหรอครับ

ผมคิดว่าตรง
$$\sin(4\theta ) = 2\sin{2\theta}\cos{2\theta}$$

$$\sin(2\theta ) = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$$

$$\cos(2\theta ) = \cos^{2}{\theta} - \sin^{2}{\theta}$$

$$\sin(4\theta ) = 4\sin{\theta}\cos{\theta}\left(\,\cos^{2}{\theta} - \sin^{2}{\theta}\right) $$

น่าจะทำให้อยู่ในรูปนี้ก่อนน่าจะดีกว่านะครับ แล้วค่อยแทนค่ากลับไปในสมการ

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

อ่าขอบคุณคับ

ข้อ1) improperintegral $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(x+2)(x+3)}=lim_{a\to\infty}\int_0^a(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})$

$\lim_{a\to\infty}ln\frac{|x+2|}{|x+3|} ]_{0}^{a}$

$\lim_{a\to\infty}\frac{|a+3|}{|a+2|}-lim_{a\to\infty}\frac{2}{3}$

$\frac{\infty}{\infty}-ln\frac{2}{3}$

indeterminatefrom $\frac{ติฟเศษ}{ดิฟส่วน}$

หา $lim^{a\to\infty}e^{ln\frac{a+3}{a+2}}$

จากบรรทัดนี้
$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a}{a}\left(\,\frac{1+\frac{2}{a}}{1+\frac{3}{a}}\right) \right| - \ln{\frac{2}{3}}$$

$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = \ln\left|\,\frac{1+\frac{2}{\infty}}{1+\frac{3}{\infty}} \right| - \ln{\frac{2}{3}}$$

$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = \ln\left|\,\frac{1+0}{1+0} \right| - \ln{\frac{2}{3}}$$

$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = \ln\left|\,1 \right| - \ln{\frac{2}{3}}$$

$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = 0 - \ln{\frac{2}{3}}$$

$$ \lim_{a\to\infty}\ln\left|\,\frac{a+2}{a+3}\right| - \ln{\frac{2}{3}} = \ln{\frac{3}{2}}$$

ช่วยดูให้อีกทีนะครับ