โจทย์ยากช่วยดูให้หน่อยครับ

[อยากเข้าใจคณิต(LoveMaths)]

เป็นข้อสอบมหิดลครับ ผมก็ไม่ทราบว่าเป็นปีไหน
ที่โพสต์นี่คือข้อที่ผมสงสัยครับ ผู้เชี่ยวชาญช่วยดูให้ทีนะครับ

1. ค่าของ x ที่ทำให้ $\sqrt{-3x+4}$ เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับสมการใด

2. ถ้า x^3 + ax^2 + bx + 8 สามารถถอดรากที่ 3 ได้ค่าของ 2a-b คือค่าใด

3. สมการ x^2 +5x + 3 = 0 มีคำตอบเป็น a และ b ค่าของ a^3 + b^3 คือค่าใด

4. ถ้า x-2y = 8 และ xy = 24 โดย x > y > 0 ค่าของ x+y คือค่าใด

5. จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (3,2) และผ่านจุด (4,5)

6. เวลาในการทำงานชิ้นหนึ่งแล้วเสร็จ แปรผกผันกับจำนวนคนงาน เดินมีคนงาน 4 คน แต่ถ้าเพิ่มคนงานขึ้น 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้นอีก 2 วัน ค่าคงที่ของการแปรผัน คือ ค่าใด

ขออภัยที่ไม่ได้ใช้ Latex นะครับ คือ ใช้ไม่เป็น
ขอบคุณมากๆ ครับ

[panda killer เจอต้องฆ่า]

ข้อ 1) x มากกว่าหรือเท่ากับ 4/3 มั้ง
พิมพ์เครื่องหมายไม่เป็นเหมือนกันครับ ยากมาก

[SiR ZigZag NeaRton]

1.$x\leqslant{\frac{4}{3}}$
2.0
3.-80
4.14
5.$Y=3(x-3)^2+2$
6.40
ถ้าผิดขอรับผิดแต่เพียงผู้เดียว

[อยากเข้าใจคณิต(LoveMaths)]

เก่งจังเลยครับ ถูกหมดเลย จากเรปบน
...แต่ผมทำไม่ได้สักข้อ แหะๆ
ใครก็ได้ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยนะค้าบ จะเป็นบุญตามากเลย

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเข้าใจคณิต(LoveMaths)

1. ค่าของ x ที่ทำให้ $\sqrt{-3x+4}$ เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับสมการใด

2. ถ้า $x^3 + ax^2 + bx + 8$ สามารถถอดรากที่ 3 ได้ค่าของ 2a-b คือค่าใด

3. สมการ $x^2 +5x + 3 = 0$ มีคำตอบเป็น a และ b ค่าของ $a^3 + b^3$ คือค่าใด

4. ถ้า x-2y = 8 และ xy = 24 โดย x > y > 0 ค่าของ x+y คือค่าใด

5. จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (3,2) และผ่านจุด (4,5)

6. เวลาในการทำงานชิ้นหนึ่งแล้วเสร็จ แปรผกผันกับจำนวนคนงาน เดินมีคนงาน 4 คน แต่ถ้าเพิ่มคนงานขึ้น 1 คน งานจะเสร็จเร็วขึ้นอีก 2 วัน ค่าคงที่ของการแปรผัน คือ ค่าใด

1. square root จะเป็นจำนวนจริงก็ต่ิอข้างในไม่ติดลบครับ นั่นคือ $-3x+4\ge 0$ แก้สมการต่อได้ไหมครับ

2. $x^3 + ax^2 + bx + 8=(x+k)^3=x^3+3kx^2+3k^2x+k^3$ เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $k^3=8$ ต่อดูนะครับ

3. ข้อนี้มีทฤษฎีที่ควรรู้ครับ
ถ้า p, q เป็นรากของสมการ $ax^2+bx+c=0$ จะได้ $p+q=-\frac{b}{a}$ และ $pq=\frac{c}{a}$
เพราะว่า p, q เป็นราก เราจึงได้ $ax^2+bx+c=a(x-p)(x-q)$ กระจายฝั่งขวาแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ ก็จะได้ครับ

กลับมาที่โจทย์ เราได้ $a+b=-5$, $ab=3$ ทีนี้เราลองพยายามเขียน $a^3+b^3$ ให้อยู่ในรูป a+b และ ab เราก็จะได้คำตอบครับ
[เทคนิคที่เราใช้ ช่วยให้เราไม่ต้องหา a, b ตรงๆ]

4. ข้อนี้ก็แก้สมการเอาครับ เอา $x=2y+8$ เข้าไปแทนใน $xy=24$ ได้ $(2y+8)y=24\Rightarrow y^2+4y-24=0$ พอหา y ได้ ก็ไปแทนหา x แล้วเช็คเงื่อนไขครับ

5. สำหรับม.ต้น พาราโบลาอยู่ในรูป $y=a(x-h)^2+k$ โดยที่ (h,k) คือจุดยอด จึงได้ $y=a(x-3)^2+2$ แทน (4,5) ลงไป ก็จะหา a ได้ครับ

6. ตั้ง $T=\frac{k}{N}$ ได้ $T_1=\frac{k}{4}$ และ $T_2=\frac{k}{5}$ และ $T_2=T_1-2$
จึงได้ $\frac{k}{5}=\frac{k}{4}-2$ ไม่ยากแล้วครับ