Matrix ครับคิดไม่ออกจริง ๆ

[PoSh]

http://image.ohozaa.com/show.php?id=...5a2c098d614258
ตามนี้เลยครับ (หัดใช้บอร์ฺดอยู่ครับขอโทษในความไม่สะดวกครับ T T)

[nongtum]

ทดคร่าวๆนะครับ ถ้าจะใช้ทำส่งโปรดเขียนรายละเอียดที่ละไว้เอง

กำหนด $A=\bmatrix{a & b \\ c & d }$ เห็นได้ชัดว่า $t\ne 0$ มิฉะนั้นจะหา $A^{-1}=\frac{1}{t}\bmatrix{d & -b \\ -c & a }$ ไม่ได้
กำหนด $\det A=ad-bc=t$
จาก $\det (A+t^2A^{-1})=\det\bmatrix{a+td & b-tb \\ c-tc & d+ta}=t+t^3+(a^2+d^2+2bc)t=0$
จะได้ $\det (A-t^2A^{-1})=\det\bmatrix{a-td & b+tb \\ c+tc & d-ta}=t+t^3-(a^2+d^2+2bc)t=2(t+t^3)$

[PoSh]

อ่อ ขอบคุณมากนะครับ ไม่ได้ทำส่งครับพอดีมีคนเอามาถามครับแล้วคิดไม่ออกสักที

[หยินหยาง]

มันเป็นข้อสอบ PAT1(ก.ค.53) ครั้งล่าสุดครับ คำตอบคือ 4

[PoSh]

จริงเหรอครับผมไม่รู้เหมือนกันนะครับเพราะว่ามีคนเอามาให้ผมทำ ซึ่งผมก็ไม่ได้ไปสอบ PAT1 ด้วยเพราะอยู่แค่ ม5 เองแถมประสบการณ์ยังน้อยด้วยครับ ซึ่งคนที่เขียนโจทย์ให้ผมก็เขียนมาให้เท่านี้แหละครับ

[nongtum]

สงสัยให้ผมไปสอบเอง อาจสอบไม่ผ่านล่ะมั้ง...

เข้ามาบอกเฉยๆว่าบรรทัดที่สามยังทดต่อจนสรุปได้ว่า $t=1$ ครับ จัดรูปต่อยังไงลองไปทดดูเองนะครัับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

สงสัยให้ผมไปสอบเอง อาจสอบไม่ผ่านล่ะมั้ง...

เข้ามาบอกเฉยๆว่าบรรทัดที่สามยังทดต่อจนสรุปได้ว่า $t=1$ ครับ จัดรูปต่อยังไงลองไปทดดูเองนะครัับ

สอบผ่านซิครับไม่งั้นจะสรุปได้อย่างไว่า $t=1$

ข้อนี้เท่าที่ทราบคนที่บอกว่าทำได้ ส่วนใหญ่ก็จะได้คำตอบอยู่ในรูปของ t เนื่องจากเป็นข้อสอบเติมคำ เลยไปต่อกันไม่ถูก
trick ของข้อนี้ต้องกล้ากระจาย และจัดรูปให้เป็นก็จะได้คำตอบแบบไม่เหนื่อยครับ

ข้อนี้ผมเชื่อว่าน่าจะมีคนทำถูกไม่ถึง 10 คน (ไม่นับประเภทเดาหรือมั่วถูกนะครับ)

[poper]

ดูแล้วก็ยัง งงงง ว่าได้ t=1 ได้ไง ถ้าทำแบบนี้ผิดตรงไหนช่วยบอกหน่อยครับ
$det(A+t^2A^{-1})=t^3+(a^2+d^2+2bc+1)t=0$ $\ \ \ \ \ \ ,t^2=-(a^2+d^2+2bc+1)$
$det(A-t^2A^{-1})=t^3-(a^2+d^2+2bc+1)t=t^3+t^3=2t^3$

[Onasdi]

วิธีการจัดรูปข้างบน(ที่ซ่อนอยู่)สวยดีครับ ผมมีอีกวิธีมานำเสนอ ช่วยกันเช็คด้วยครับ

คำนวณใน $\mathbb{C}$ ครับ
$\det (A+t^2A^{-1})=0$
$\Rightarrow\,\det (A^2+t^2I)=0$
$\Rightarrow\,\det (A+tiI)\cdot \det (A-tiI)=0$

กรณี $\det (A+tiI)=0$ (อีกกรณีทำเหมือนกันครับ)
$0=\det\bmatrix{a+ti & b \\ c & d+ti}=(a+ti)(d+ti)-bc=(ad-bc)+(a+d)ti-t^2$
หาร t ตลอด; $(1-t)+(a+d)i=0$
จบด้วยการใช้ความจริงที่ว่า $a,d,t\in\mathbb{R}$

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ดูแล้วก็ยัง งงงง ว่าได้ t=1 ได้ไง ถ้าทำแบบนี้ผิดตรงไหนช่วยบอกหน่อยครับ
$det(A+t^2A^{-1})=t^3+(a^2+d^2+2bc+1)t=0$ $\ \ \ \ \ \ ,t^2=-(a^2+d^2+2bc+1)$
$det(A-t^2A^{-1})=t^3-(a^2+d^2+2bc$ $-$$1)t=...$

ผิดตรงสมการล่างครับ เครื่องหมายของ t ผิด

t=1 ได้มาจากการจัดรูปสมการ $t^2+1+a^2+d^2+2bc=0$ ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ผิดตรงสมการล่างครับ เครื่องหมายของ t ผิด

t=1 ได้มาจากการจัดรูปสมการ $t^2+1+a^2+d^2+2bc=0$ ครับ

ขอบคุณครับรีบไปหน่อย ตายง่ายๆเลยครับ
ว่าแต่ก็ยังไม่รู้อ่ะครับว่าทำไมจึงสรุปได้ว่า t=1 เราหาค่า $1+a^2+d^2+2bc$ ได้เหรอครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

จาก $ad-bc=t$แทนมาใน$t+t^3+(a^2+d^2+2bc)t=0$น่ะครับ

[poper]

ได้แล้วคร้าบโอ้ นอนหลับสบายแล้วครับ

[PoSh]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

วิธีการจัดรูปข้างบน(ที่ซ่อนอยู่)สวยดีครับ ผมมีอีกวิธีมานำเสนอ ช่วยกันเช็คด้วยครับ

คำนวณใน $\mathbb{C}$ ครับ
$\det (A+t^2A^{-1})=0$
$\Rightarrow\,\det (A^2+t^2I)=0$
$\Rightarrow\,\det (A+tiI)\cdot \det (A-tiI)=0$

กรณี $\det (A+tiI)=0$ (อีกกรณีทำเหมือนกันครับ)
$0=\det\bmatrix{a+ti & b \\ c & d+ti}=(a+ti)(d+ti)-bc=(ad-bc)+(a+d)ti-t^2$
หาร t ตลอด; $(1-t)+(a+d)i=0$
จบด้วยการใช้ความจริงที่ว่า $a,d,t\in\mathbb{R}$

โอ้โห ผมนับถือเลยครับ ไม่รู้เลยว่าสามารถจัดให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนแบบนี้ได้ด้วย มองได้ลึกซึ้งจริงๆครับขอนับถือ

[oat_kung]

สุดยอดกัน จริงๆๆ