math กสพท

[GTR_Ping]

ผม ต้องขอออกตัวว่าแบบฝึกหัดเหล่า ผมรวบรวมมา จากแหล่งต่างๆ เพื่อไว้ฝึกน้องๆที่กำลังจะสอบหมอ พอดีผมสอนเลขอยู่ น่าจะเป็นประโยชน์นะครับ ยินดีที่มีคนรักคณิตศาสตร์อย่าผม

[T-kung]

บางข้อคุ้นๆว่ามีใน สอวน

[GTR_Ping]

ใช่แล้ว ครับผม

ถ้าช่วยกันสร้างข้อสอบไว้เยอะๆมาแลกเปลี่ยนกันนะครับ

[tongkub]

มีเฉลยไหมอ่ะครับ โจทย์สวยๆเยอะเยะเลย แต่ทำแล้วไม่แน่ใจอ่าครับ

[กิตติ]

ปกติในโจทย์ของตรีโกณมิติ เราจะบอกขอบเขตของค่ามุมไว้ด้วยว่ามีขอบเขตเท่าไหร่
ข้อนี้กินแรงเหมือนกันถ้าต้องการเช็คค่ามุมให้ถูกต้อง เพราะการโยงมุมครึ่งหนึ่งไปหามุมเต็ม มันต้องผ่านการยกกำลังสอง
ซึ่งเราต้องแน่ใจว่าเครื่องหมายนั้นต้องถูกตามQuadrant ไม่ว่า$A,B,A+B,A-B$
ผมคิดได้...$\frac{32}{37} $
$\ sinA+ \ sinB =\frac{1}{2} $..........(1)
$\ cosA + \ cosB = \frac{3}{4} $................(2)
$\ sin^2A+ \ sin^2B+ \ 2sinAsinB = \frac{1}{4} $
$\ cos^2A + \ cos^2B + \ 2cosAcosB = \frac{9}{16} $
$\ cos(A-B) = -\frac{19}{32} $
$2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2}$
$2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{3}{4}$
$tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{2}{3} $
$cos(A+B) = \frac{1-tan^2(\frac{A+B}{2})}{1+tan^2(\frac{A+B}{2})} \rightarrow cos(A+B) =\frac{5}{13} $

$\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{sin(\frac{A+B}{2})}{cos\frac{A}{2} cos\frac{B}{2}} = \frac{2}{cot(\frac{A+B}{2})+\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} } $

เดี๋ยวมาพิมพ์ต่อ ยังหาวิธีสั้นๆไม่ได้

$cos(\frac{A-B}{2}) =\sqrt{\frac{cos(A-B)+1}{2} } =\frac{\sqrt{13}}{8} $
$sin(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(A+B)}{2} }=\frac{2}{\sqrt{13} } $
$\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} =\frac{13}{16} $
$cot(\frac{A+B}{2})= \frac{3}{2} $

$\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{2}{cot(\frac{A+B}{2})+\frac{cos(\frac{A-B}{2})}{sin(\frac{A+B}{2})} } = \frac{2}{\frac{3}{2}+\frac{13}{16} } = \frac{32}{37}$

ผมยังไม่ได้ตรวจเครื่องหมายหลังจากถอดรูทว่า ค่าตรีโกณที่หยิบมานั้นตรงตามQที่มุมแต่ละมุมอยู่หรือเปล่า
ยังไงลองช่วยกันดูว่าเครื่องหมายผิดตรงไหนบ้าง

[กิตติ]

ข้อนี้ผมใช้เครื่องทุ่นแรงอย่างmod ไม่งั้นคิดจนงง ร่วมกับ Euler's theorem
อ่านมาจากกระทู้นี้ครับ ความรู้เบื้องต้นเรื่อง mod
เป็นความรู้เกินระดับ
ผมได้คำตอบคือ $19$

คิดหารทีละพจน์
$7^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 37
คิดแบบนี้ จากEuler's theorem : 7 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม
$\phi(45) = 45(1-\frac{1}{3} )(1-\frac{1}{5} ) =24$
$7^{24} \equiv 1 \pmod{45} $
$7^{2553} = 7^{24(106)+9}$
$7^{2553} = 7^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 7^9 \equiv 37 \pmod{45} $
เช่นเดียวกับ $2^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 17
2 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม
$2^{24} \equiv 1 \pmod{45} $
$2^{2553} = 2^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 2^9 \equiv 17 \pmod{45} $
ดังนั้นเศษที่เหลือจากการหารนำมารวมกันได้ $37+17n$ หารด้วย 45ลงตัว
เขียนเป็นสมการได้ว่า$37+17n = 45A$
แปลงให้ดูง่ายหน่อยได้$n = 2(A-1)+\frac{11A-3}{17} $
แทนค่า$A=1,2,3,...$ ไปเรื่อยๆ ได้ค่า$A=8$เป็นค่าแรกที่ทำให้เกิดจำนวนเต็ม
แทนค่าได้$n=19$

ผมคิดเป็นคำตอบไว้คร่าวๆ เผื่อจะมีคนประยุกต์ความรู้ขั้นมัธยมปลายหาคำตอบได้
ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าตัวเองคิดถูกหรือเปล่า เพราะลองใช้ความรู้นี้เป็นครั้งแรก

[tongkub]

รบกวนด้วยครับ พอดีไม่ตรงกับคุณอากิตติผู้ใจดี

$2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{1}{2}$
$2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{3}{4}$

$tan(\frac{A+B}{2})$ =$\frac{2}{3}$
แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมได้ $sin(\frac{A+B}{2})$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$ $cos(\frac{A+B}{2})$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$

นำกลับไปแทนได้ $cos(\frac{A-B}{2}) = \frac{\sqrt{13}}{8}$


$\ tan\frac{A}{2} + \ tan\frac{B}{2} = \frac{2sin(\frac{A+B}{2})}{cos(\frac{A+B}{2}) + cos(\frac{A-B}{2})}$

เมื่อนำค่าต่างๆไปแทนแล้วได้คำตอบคือ 2 ครับ

[nooonuii]

ผมได้เท่ากับคุณกิตติครับ

ให้

$a=\cos{\dfrac{A}{2}}+i\sin{\dfrac{A}{2}}$

$b=\cos{\dfrac{B}{2}}+i\sin{\dfrac{B}{2}}$

จะได้ว่า

$\cos{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{a+a^{-1}}{2},\quad\sin{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{a-a^{-1}}{2i}$

$\cos{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{b+b^{-1}}{2},\quad\sin{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{b-b^{-1}}{2i}$

$\cos{A}=\dfrac{a^2+a^{-2}}{2},\quad \sin{A}=\dfrac{a^2-a^{-2}}{2i}$

$\cos{B}=\dfrac{b^2+b^{-2}}{2},\quad\sin{B}=\dfrac{b^2-b^{-2}}{2}$

$\tan{\dfrac{A}{2}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{a-a^{-1}}{(a+a^{-1})}=\dfrac{1}{i}\dfrac{a^2-1}{a^2+1}$

$\tan{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{b-b^{-1}}{b+b^{-1}}=\dfrac{1}{i}\dfrac{b^2-1}{b^2+1}$

จากโจทย์จะได้สมการ

$\dfrac{a^2-a^{-2}}{2i}+\dfrac{b^2-b^{-2}}{2i}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{a^2+a^{-2}}{2}+\dfrac{b^2+b^{-2}}{2}=\dfrac{3}{4}$

นำสองสมการนี้มาบวกกันและลบกันจะได้สมการ

$a^2+b^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{i}{2}$

$a^{-2}+b^{-2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{i}{2}$

ดังนั้น

$a^2b^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^{-2}+b^{-2}}$

$~~~~~=\dfrac{5}{13}+\dfrac{12}{13}i$

สุดท้าย

$\tan{\dfrac{A}{2}}+\tan{\dfrac{B}{2}}=\dfrac{1}{i}\Big(\dfrac{a^2-1}{a^2+1}+\dfrac{b^2-1}{b^2+1}\Big)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{1}{i}\dfrac{2(a^2b^2-1)}{a^2b^2+a^2+b^2+1}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{32}{37}$

วิธีนี้บางครั้งต้องคำนวณตัวเลขเยอะ แต่ข้อดีคือจะหลบสูตรตรีโกณ

ที่มีเยอะแยะซึ่งทำให้งงและไม่รู้ว่าจะเริ่มตรงไหนดี

ให้เป็นการคำนวณโดยใช้พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด

[กิตติ]

เห็นข้อสอบแล้ว ผมไม่แน่ใจว่าเขาจะคัดไปเรียนแพทย์หรือเข้าสอบโอลิมปิกกันแน่....
ถ้าคัดไปเรียนแพทย์ ผมคงไม่มีโอกาสได้ไปเรียนแน่นอน
แต่ละข้อกินแรงมากเกิน ผมว่าแค่ข้อสอบพลิกแพลงก็น่าจะโอเคสำหรับคัดคนไปเรียนแพทย์
โหดเกินพิกัดครับ...
ขอบคุณคุณNooNuiiที่ช่วยดูให้ครับ หลับดึกเหมือนกัน หรือว่าอยู่คนละฟากเวลาของซีกโลกครับ
ผมสังเกตว่าชอบเข้ามาตอนดึกๆ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

....
ผมคิดเป็นคำตอบไว้คร่าวๆ เผื่อจะมีคนประยุกต์ความรู้ขั้นมัธยมปลายหาคำตอบได้
ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าตัวเองคิดถูกหรือเปล่า เพราะลองใช้ความรู้นี้เป็นครั้งแรก

ใช้อะไรเบาๆ พวกนี้ก็ได้ครับ $7^2-2^2=45$
ที่เหลือต่อเองครับ

[tongkub]

ขอบคุณครับ สะเพร่าเองครับ หาค่าต่างๆแทนถูกแล้ว แต่คิดเลขผิด ขอบคุณคุณกิตติกับคุณ noonuii มากครับ

[tongkub]

Attachment 4039

จัดรูปสมการไฮเพอร์โบลาได้

$\frac{(y-3)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{12} = 1$

จากข้อมูลที่ให้จุดโฟกัสไฮเพอร์เป็นจุดยอดของวงรี

$\frac{(y + 3)^2}{16} + \frac{(x-2)^2}{4} = 1$

หาจุดตัดแกน x ได้ x =$ (\frac{4 + \sqrt{7}}{2},0) , (\frac{4-\sqrt{7}}{2},0)$

AB ยาว = $\sqrt{7}$ หน่วย

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณScylla_Shadowที่แนะให้มากเลย
แต่วิธีที่ผมเฉลยด้วยไอเดียของคุณScylla_Shadowยังดูตลกๆ
ผมว่ามันน่าจะยังมีวิธีที่สวยกว่าที่คิดได้ ท่านไหนมีวิธีน่าสนใจก็ลองแนะกันได้
ผมน่ะแก่แล้วความรู้ก็จำกัด วิธีเลยถึกๆ ดูไม่เท่เท่าไหร่
อ้อลืมไปครับ...มาเที่ยวลำปางแล้วก็บอกกันหน่อยนะครับ จะได้เจอกันบ้าง
จาก$7^2-2^2=45$ เราเอา$7^2+2^2$คูณทั้งสองข้างให้ซ้ายมือเป็นผลต่างกำลังสองแล้วเราก็คูณไปเรื่อยๆจนได้เลขยกกำลังที่ใกล้ $7^{2553}$ มากที่้สุด
$7^4-2^4=45(7^2+2^2)$
$7^8-2^8=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)$
$7^{16}-2^{16}=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^8+2^8)$
จะเห็นว่าเลขยกกำลังของ7และ2ที่เราเอามาคูณนั้นเป็น$2^n$ ซึ่งค่าที่ใกล้ $2553$ มากที่สุดคือ $2048$
ลองเขียน$2^n$ ออกมาได้ $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048$
เราลองแยก$2553$ออกมาในรูปที่เป็น$2^n$ เท่ากับ$2048+256+128+16+4+1$
ดังนั้น $7^{2553}=7(7^{2048+256+128+16+4})$
$=7(7^{2048}7^{256}7^{128}7^{16}7^{4})$
แทนค่าลงไปโดย$7^{2048} =2^{2048}+45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$ ผมให้ก้อนนี้$(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$เป็นอะไรสักอย่าง คือ$A_1$
$7^{2048} =2^{2048}+45A_1$
$7^{256} =2^{256}+45A_2$
$7^{128} =2^{128}+45A_3$
$7^{16} =2^{16}+45A_4$
$7^4 =2^4+45A_5$
เราสนใจว่ามีพจน์ไหนที่ไม่มี$45$เป็นตัวประกอบ ซึ่งก็คือ$2^{2048}\times2^{256}\times2^{128}\times2^{16}\times2^4$
เท่ากับ$2^{2552}$
ดังนั้น$7^{2553}$มีพจน์ที่ไม่มี$45$ คือ$7\times 2^{2552} $ ซึ่งก็คือเศษจากการหาร
ดังนั้น $n2^{2553}+7^{2553}$ หารด้วย45ลงตัว เมื่อ $n2^{2553}+7\times 2^{2552}$หารด้วย45ลงตัว
$n2^{2553}+7\times 2^{2552} = (2n+7)\times 2^{2552}$
ดังนั้น$2n+7 = 45 \rightarrow n=19$

[Onasdi]

แค่นี้วิธีก็เท่ใช้ได้แล้วครับ ขอเอา mod มาใช้ ทำให้วิธีเท่ขึ้นอีก

จาก $7^2\equiv 2^2 \pmod{45}$
ยกกำลัง 2552/2 ทั้งสองข้างครับ $7^{2552}\equiv 2^{2552} \pmod{45}$
จึงได้ $7^{2553}\equiv 7\cdot 2^{2552} \pmod{45}$
ตอนจบก็เหมือนกันครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ใช้อะไรเบาๆ พวกนี้ก็ได้ครับ $7^2-2^2=45$
ที่เหลือต่อเองครับ

มีวิธีคิดแบบนี้ด้วย !

โห ... เข็มขัดสั้นไปเลย

ผมว่า ในอนาคตเราได้อาจารย์คณิตฯเก่งๆมาเพิ่มแน่ๆ