Marathon - Primary # 2

[kimchiman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

เศษ 0 ครับ

ขอวิธีคิดด้วยครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169

ดูยังไงหรอครับ ?

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kimchiman

ขอวิธีคิดด้วยครับ

$997^7+487^7-1484^7$ ด้วย $997^4+487^4+1484^4$

มองเป็น $A^7+B^7-(A+B)^7$ กับ $A^4+B^4+(A+B)^4$



$ \because \ \ (A^2+A B+B^2)^2 = A^4+2 A^3 B+3 A^2 B^2+2 A B^3+ B^4 $

$ 2 (A^2+A B+B^2)^2 =2 A^4+4 A^3 B+6 A^2 B^2+4 A B^3+2 B^4 $

$= A^4 +B^4 +( A^4+4 A^3 B+6 A^2 B^2+4 A B^3+ B^4 )$

$=A^4+B^4+(A+B)^4$ ......(*)



$(A+B)^7 = A^7+7 A^6 B+21 A^5 B^2+35 A^4 B^3+35 A^3 B^4+21 A^2 B^5+7 A B^6+B^7$

$-(A+B)^7 = -A^7-7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6-B^7$

$A^7+B^7-(A+B)^7=A^7-A^7-7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6-B^7+B^7$

$= -7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6 $

$=-7AB (A^5+3A^4B+5A^3B^2+5A^2B^3+7AB^4+B^5)$

$=-7AB(A+B)(A^4+2 A^3 B+3 A^2 B^2+2 A B^3+ B^4)$

$= -7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2 $ ......(**)



หาร$A^7+B^7-(A+B)^7$ ด้วย $A^4+B^4+(A+B)^4$

ได้ผลลัพธ์เป็น $= \frac{-7 A B (A+B)}{2} $

แต่เนื่องจาก $7 A B (A+B) = 7 \times 997 \times 487(997+487)$

$= 7 \times 997\times487(1484) = (...$ลงท้ายด้วย $3)(1484)$

เมื่อคูณกันแล้ว ลงท้ายด้วย $2$

ดังนั้น $= \frac{-7 A B (A+B)}{2} $ จึงหารลงตัว



ดังนั้นหาร $997^7+487^7-1484^7$ ด้วย $997^4+487^4+1484^4$

จึงได้ เศษ $0$ ด้วยประการฉะนี้แล

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$997^7+487^7-1484^7$ ด้วย $997^4+487^4+1484^4$

มองเป็น $A^7+B^7-(A+B)^7$ กับ $A^4+B^4+(A+B)^4$



$ \because \ \ (A^2+A B+B^2)^2 = A^4+2 A^3 B+3 A^2 B^2+2 A B^3+ B^4 $

$ 2 (A^2+A B+B^2)^2 =2 A^4+4 A^3 B+6 A^2 B^2+4 A B^3+2 B^4 $

$= A^4 +B^4 +( A^4+4 A^3 B+6 A^2 B^2+4 A B^3+ B^4 )$

$=A^4+B^4+(A+B)^4$ ......(*)



$(A+B)^7 = A^7+7 A^6 B+21 A^5 B^2+35 A^4 B^3+35 A^3 B^4+21 A^2 B^5+7 A B^6+B^7$

$-(A+B)^7 = -A^7-7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6-B^7$

$A^7+B^7-(A+B)^7=A^7-A^7-7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6-B^7+B^7$

$= -7 A^6 B-21 A^5 B^2-35 A^4 B^3-35 A^3 B^4-21 A^2 B^5-7 A B^6 $

$=-7AB (A^5+3A^4B+5A^3B^2+5A^2B^3+7AB^4+B^5)$

$=-7AB(A+B)(A^4+2 A^3 B+3 A^2 B^2+2 A B^3+ B^4)$

$= -7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2 $ ......(**)



หาร$A^7+B^7-(A+B)^7$ ด้วย $A^4+B^4+(A+B)^4$

ได้ผลลัพธ์เป็น $= -7 A B (A+B) $ กับเศษ $0$



ดังนั้นหาร $997^7+487^7-1484^7$ ด้วย $997^4+487^4+1484^4$

จึงได้ เศษ $0$ ด้วยประการฉะนี้แล

$A^4+B^4+(A+B)^4 = 2 (A^2+A B+B^2)^2$...(*)

$A^7+B^7-(A+B)^7 = -7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2$...(**)

(**)/(*)

$=\frac{-7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2}{2 (A^2+A B+B^2)^2}$

$=\frac{-7 A B (A+B)}{2}$

ทำไมถึงได้เศษ $0$ ครับลุง งง???

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

$A^4+B^4+(A+B)^4 = 2 (A^2+A B+B^2)^2$...(*)

$A^7+B^7-(A+B)^7 = -7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2$...(**)

(**)/(*)

$=\frac{-7 A B (A+B) (A^2+A B+B^2)^2}{2 (A^2+A B+B^2)^2}$

$=\frac{-7 A B (A+B)}{2}$

ทำไมถึงได้เศษ $0$ ครับลุง งง???

ขออภัยที่ลืมแสดงข้อความสำคัญตอนหนึ่งไปว่า

$7 A B = 7 \times997 \times 487$ ลงท้ายด้วย $3$

และ $A+B = 1484$

เมื่อคูณกัน ลงท้ายด้วย $2$ จึง หารด้วย $2$ ลงตัว

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ขออภัยที่ลืมแสดงข้อความสำคัญตอนหนึ่งไปว่า

$7 A B = 7 \times997 \times 487$ ลงท้ายด้วย $3$

และ $A+B = 1484$

เมื่อคูณกัน ลงท้ายด้วย $2$ จึง หารด้วย $2$ ลงตัว

อ๋อมันเป็นอย่างนี่เอง ขอบคุณครับลุง

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

คุณอาbanker มาถ่ายทอดวรยุทธ์แทนผมแล้วครับ
ขอบคุณมากครับ
ช่วงนี้ผมไม่ค่อยว่างตอนกลางวันเลยไม่ได้แจมกับคุณอาเท่าไหร่
ไว้วันไหนว่างตรงกันมาปล่อยแสงกันอีกนะครับ
ป.ล. รวมทั้งคุณjsompisด้วยนะครับ

[Onasdi]

สุดยอดครับคุณ banker ตอนผมลองทำ ผมไม่กล้าพอที่จะกระจาย จึงไม่สำเร็จ ขอนับถือครับ

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย

คุณอาbanker มาถ่ายทอดวรยุทธ์แทนผมแล้วครับ
ขอบคุณมากครับ
ช่วงนี้ผมไม่ค่อยว่างตอนกลางวันเลยไม่ได้แจมกับคุณอาเท่าไหร่
ไว้วันไหนว่างตรงกันมาปล่อยแสงกันอีกนะครับ
ป.ล. รวมทั้งคุณjsompisด้วยนะครับ

ผมช่วงนี้ก็ยุ่งมาก เลยไม่ได้หาโจทย์มาแกล้งคุณลุงเท่าไร
นานๆจะได้แวะเข้า เข้ามาทีไรเห็นคุณลุงทำโจทย์ยากๆ ให้เป็นวิทยาทานอยู่เรื่อยเลย

[nong_jae]

เงียบมาหลายวันแล้ว
ขออนุญาตตั้งโจทย์ต่อเลยนะคะ
จงแยกตัวประกอบของ
$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ลองอาศัยช่วงที่คุณอาbakerยังไม่มา แย่งคุณอาทำนะครับ อิอิ
ให้เริ่มจาก$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$
จะได้ว่า $(a-b)=-(b-c)-(c-a)$
แทนใน$a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)$
จะได้ $a^3(b-c)+b^3(c-a)-c^3(b-c)-c^3(c-a)=(b-c)(a^3-c^3)+(c-a)(b^3-c^3)$
$=(a-c)(b-c)(a^b+ac+c^2-b^2-bc-c^2)$
$=(a-c)(b-c)(a^2-b^2+ac-bc)$
$=(a-c)(b-c)(a-b)(a+b+c)$
$=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$

[kimchiman]

เห็นว่าคุณกระบี่เดียวดายแสวงพ่ายเงียบไปนาน งั้นผมลงโจทย์เองแล้วกัน

**ข้อนี้ห้ามใช้คาร์ดานนะครับ
ให้ p เป็นรากจริงของสมการ $x^3-3x^2+4x-1=0$
และ q เป็นรากจริงของสมการ $y^3+6y^2+13y+9=0$
แล้ว $p+q=?$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ไม่ให้ใช้คาร์ดานแล้วเด็กประถมจะทำยังไงดีล่ะครับ คุณkimchiman

[kimchiman]

มีวิธีในการหา p+q โดยไม่ต้องหา p และ q ครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

งั้นเอาสมการบวกกันแล้วหารด้วย $x+y$ดูนะครับ
จะได้$x^3+y^3-3x^2+6y^2+4x+13y+8$หารด้วย$x+y$
แล้วแยกตัวประกอบอีกรอบ
เหมือนจะได้คำตอบเป็น-1ครับ
ไม่แน่ใจตรงแยกตัวประกอบนี้แหละครับ
ถ้าถูกเดี๋ยวมาทำต่อนะครับ

[kimchiman]

คำตอบถูกแล้วล่ะครับ
งั้นขอวิธีคิดสักหน่อยนะครับ เผื่อวิธีจะง่ายกว่าผม