พิสูจน์ตรีโกณง่ายๆแต่ยากสำหรับผม

[~ToucHUp~]

$arctanx+arctany=arctan(\frac{x+y}{1-xy})$
$sinx+siny=2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$
ผมไม่ค่อยเข้าใจว่ามันจัดรูปตัวหน้าออกมาเป็นตัวหลังได้ยังไง

[Amankris]

บรรทัดแรกไม่จริงนะครับ

บรรทัดสอง เอกลักษณ์พื้นฐานเลย ผลบวกผลคูณ

[กิตติ]

มอง $\arctan x$ เป็นมุมๆหนึ่ง ให้เป็น $A$ และมอง$\arctan y$ เป็นมุมๆหนึ่ง ให้เป็น $B$
$\arctan x=A \rightarrow \tan A=x$
$\arctan y=B \rightarrow \tan B=y$

$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} $

$\tan(A+B)=\frac{x+y}{1-xy} $
เขียนกลับในรูปฟังก์ชั่นอินเวอร์ส
$A+B=\arctan(\frac{x+y}{1-xy} )$

ตรงนี้เขียนพิสูจน์เท่านี้ ที่ต้องบอกไว้ก่อนคือทั้งสามค่าคือ $x,y,\frac{x+y}{1-xy} $ ต้องอยู่ในขอบเขตคำนิยามของ $\arctan$

เห็นข้อแนะนำของคุณAmankrisแล้วเดี๋ยวคงต้องเช็คว่ามีค่า $x,y$ สอดคล้องกับเงื่อนไขของ $\arctan$ หรือเปล่า

รู้แล้วครับว่า ขาดเงื่อนไขที่ว่า $xy \not= 1$ เพราะถ้า $xy=1$ ทำให้หาค่าของ $\frac{x+y}{1-xy}$ ไม่ได้

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

บรรทัดแรกไม่จริงนะครับ

บรรทัดสอง เอกลักษณ์พื้นฐานเลย ผลบวกผลคูณ

คือหนังสือมันเขียนสูตรให้จำเฉยๆ ผมก็เลยไม่รู้ว่ามาไงอะครับ

[lek2554]

#3

คุณหมอครับ เงื่อนไขแค่นั้นยังไม่พอครับ

[Amankris]

#3
ตรงนี้คนส่วนมากมักเข้าใจผิดครับ
$\tan\alpha=x\rightarrow\alpha=\arctan x$

[BLACK-Dragon]

2.

Hide

$\cos A=\dfrac{e^{iA}+e^{-iA}}{2}$

$\sin A=\dfrac{e^{iA}-e^{iA}}{2i}$

[wee]

ลองศีกษาดูนะครับ

[wee]

ลองศึกษาดูนะครับ

[กิตติ]

ขอบคุณมากครับพี่เล็ก คุณAmankris และคุณwee
ดีแล้วครับที่น้องเขาเอามาถาม หนังสือสรุปสูตรบางเล่มก็เขียนสั้นๆแบบที่น้องเอามา หรือบางทีคนอ่านก็สรุปจำมาแค่สูตร ไม่ได้เอาข้อกำหนดมาด้วย
โดยเฉพาะเรื่องอินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณ ที่มีช่วงกำหนดไว้ เลือกเอามาแต่ชาวงที่เป็นฟังก์ชั่น1-1
คุณwee นี่ใจดีช่วยอธิบายให้ละเอียดเลย ผมคุ้นๆสไตล์การตอบแบบแปะภาพนี้ จากกระทู้ห้องวิชาการ ไม่ทราบว่าเป็นคนเดียวกับในห้องวิชาการเลขหรือเปล่าครับ

[~ToucHUp~]

ขอบคุณทุกคนมากครับ

[lek2554]

#10 คุณหมอสงสัยไหม๊ครับ

เนื่องจาก $-\frac{\pi }{2} <arctanx<\frac{\pi }{2} $

และ$\quad\,\,\,-\frac{\pi }{2} <arctany<\frac{\pi }{2} $

ดังนั้น $-\pi <arctanx+arctany<\pi$

ถ้า$\quad\,\,\,\frac{\pi }{2} <arctanx+arctany<\pi\quad$ แล้ว $arctanx+arctany=?$

ถ้า$\quad-\pi <arctanx+arctany<-\frac{\pi }{2}$ แล้ว $arctanx+arctany=?$

เมื่อใดที่ $arctanx+arctany=\frac{\pi }{2}$

เมื่อใดที่ $arctanx+arctany=-\frac{\pi }{2}$

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

เมื่อใดที่ $arctanx+arctany=\frac{\pi }{2}$

เมือ x=y รู้แค่อันนี้อันเดียวอะครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

เมือ x=y รู้แค่อันนี้อันเดียวอะครับ

$arctan\sqrt{3} +arctan\sqrt{3}\not= \frac{\pi }{2} $

[กิตติ]

เมื่อใดที่ $arctanx+arctany=\frac{\pi }{2}$ ตรงนี้เราหาตรงๆจาก ค่าของ $\tan(arctanx+arctany)=\tan(\frac{\pi }{2})$ ไม่ได้ เพราะ $\cos \frac{\pi }{2}=0$
หลบไปหาจากค่าของ $\cos$ หรือ $\sin$
$arctanx =A$
$arctany =B$
เมื่อ $ -\frac{\pi }{2} \leqslant A,B \leqslant \frac{\pi }{2}$
$\tan A=x \rightarrow \sin A=\frac{x}{\sqrt{1+x^2} },\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $
$\tan B=y \rightarrow \sin B=\frac{y}{\sqrt{1+y^2} },\cos B=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} $
$\cos (arctanx+arctany) = \cos \frac{\pi }{2}=0$
$\cos A \cos B-\sin A \sin B=0$
$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} =\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }\frac{y}{\sqrt{1+y^2} }$
จะได้ $xy=1$

ถ้าจะมองจาก
$\sin (arctanx+arctany) = \sin \frac{\pi }{2}=1$
$\sin A \cos B+ \cos A \sin B=1$
$\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }\frac{1}{\sqrt{1+y^2}} +\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\frac{y}{\sqrt{1+y^2} }=1$
$(x+y)^2=(1+x^2)(1+y^2)$
$x^2+2xy+y^2=1+x^2+y^2+x^2y^2$
$x^2y^2-2xy+1=0$
$(xy-1)^2=0$
$xy=1$
แบบนี้หรือเปล่าครับ

ติดไว้อีกสอง
ถ้า$\quad\,\,\,\frac{\pi }{2} <arctanx+arctany<\pi\quad$ แล้ว $arctanx+arctany=?$

ถ้า$\quad-\pi <arctanx+arctany<-\frac{\pi }{2}$ แล้ว $arctanx+arctany=?$