ข้อสอบประกายกุหลาบ ม.ต้น ครั้งที่ 10 ปี 2555

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

พื้นที่ทั้งหมด = 6 เท่าของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลุงผมนับได้ 5 รูปเอง ABCD, FGCE, IHFG, IJAB และ IGCB

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

ลุงผมนับได้ 5 รูปเอง ABCD, FGCE, IHFG, IJAB และ IGCB

ผมตาลาย ดูเป็น AB : BG = 1 : 2

[artty60]

ตอน1 ข้อ4

$10^3\times 2^n=4.096\times 10^6$

$2^n=4096$

$n=12$ $\,12\times 5=60นาที$

คำตอบ 4)

ข้อ5 คำตอบ 3)

ข้อ6 คำตอบ 4)เช่นกัน

ตอน2 ข้อ1 ได้สมการเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุดAเป็น$y=x\pm 3\sqrt{6}i$ ไม่รู้ผิดมั๊ย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Cachy-Schwarz

สังเกตว่า

$f(x)=x^4+x^2+1$

$f(1)=1+1+1=3$

มีวิธีสังเกตยังไงครับว่า
$f(x)=x^4+x^2+1$

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มีวิธีสังเกตยังไงครับว่า
$f(x)=x^4+x^2+1$

เอาตามที่ผมคิดนะครับ
ผมกำหนดให้ A,B,C,D,E เป็น 1 หมด แล้วลองเอา 2 ไปแทนค่าใน

$x^4 + x^3 +x^2 +x +1$

แล้วดูผลลัพธ์ว่าเท่ากับ 21 หรือเปล่า แล้วลองตัดแต่ละดีกรีออก ก็คือลองผิดลองถูกนั่นแหละ จนมันเท่ากับ 21
จากนั้นลองทดสอบกับ 7 ว่าถูกต้องหรือเปล่า ปรากฎว่ามันได้ จึงสรุปว่า

$f(x)=x^4+x^2+1$

[Cachy-Schwarz]

ตอนเเรกผมดูก่อนครับว่ามันใกล้เคียงกำลัง4 ที่เหลือก็ง่ายเเล้วครับ

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ให้ $A(x_0,y_0)$ เป็นจุดสัมผัส
หาค่าของ $dy/dx$ $$2x+2y\frac{dy}{dx}+9+9\frac{dy}{dx}=0\leftrightarrow (2y+9)\frac{dy}{dx}=-2x-9\leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-2x-9}{2y+9}$$
จะได้ว่าความชันของสมการเส้นตรงที่สัมผัสกราฟของเส้นโค้งคือ $$\frac{dy}{dx}|(x_0,y_0)\leftrightarrow -1=\frac{-2x_0-9}{2y_0+9} \therefore x_0=y_0$$
เเละกราฟเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่เป็นเส้นสัมผัสของวงกลมที่จุด $A$ คือ $y=x+c$
เเทน $x_0=y_0\therefore c=0$ นั่นคือสมการคือ $y=x$

เจอแบบนี้ไม่รู้จะไปสอนลูกต่อยังไง เพราะตัวเองยังงงเลย
มีวิธีที่ความรู้ของเด็ก ม.ต้น พอจะทำได้บ้างมั๊ยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JSompis

เจอแบบนี้ไม่รู้จะไปสอนลูกต่อยังไง เพราะตัวเองยังงงเลย
มีวิธีที่ความรู้ของเด็ก ม.ต้น พอจะทำได้บ้างมั๊ยครับ

ดูวิธีคิดแบบไม่ใช้แคลคูลัสของข้อ 2. ในนี้ครับ TMC ม.4 บางข้อ

แต่อย่างไรก็ตามที ก็ต้องมีความรู้ว่า "ผลคูณของเส้นตรงที่ตั้งฉากกันจะมีค่าเท่ากับ -1 เสมอ" (ยกเว้นเส้นแนวดิ่งกับแนวนอน)

ซึ่งม.ต้นโดยทั่วไปจะรู้หรือไม่นี่ ผมไม่แน่ใจเหมือนกัน.

สมมติว่าถ้าไม่รู้ ก็พิสูจน์ให้ดูเลยละกันครับ.

[JSompis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ดูวิธีคิดแบบไม่ใช้แคลคูลัสของข้อ 2. ในนี้ครับ TMC ม.4 บางข้อ

แต่อย่างไรก็ตามที ก็ต้องมีความรู้ว่า "ผลคูณของเส้นตรงที่ตั้งฉากกันจะมีค่าเท่ากับ -1 เสมอ" (ยกเว้นเส้นแนวดิ่งกับแนวนอน)

ซึ่งม.ต้นโดยทั่วไปจะรู้หรือไม่นี่ ผมไม่แน่ใจเหมือนกัน.

สมมติว่าถ้าไม่รู้ ก็พิสูจน์ให้ดูเลยละกันครับ.

หากไม่เป็นการรบกวน พอจะแสดงวิธีทำของข้อนี้ แบบไม่ใช้แคลคูลัส ให้ดูได้หรือหรือเปล่าครับ

[กิตติ]

ผมลองจัดให้อยู่ในรูปของสมการวงกลมก่อน
$(x^2+2(\frac{9}{2})x+(\frac{9}{2})^2 )+(y^2+2(\frac{9}{2})y+(\frac{9}{2})^2 )=17+\frac{81}{2}=\frac{115}{2} $

$(x+\frac{9}{2})^2+(y+\frac{9}{2})^2=\frac{115}{2}$

สมการเส้นตรงที่กำหนดให้คือ $y=-x+4$ ดังนั้นสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากคือ $y=x+c$
สมการเส้นนี้ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เพราะเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงกลมจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม แทนค่าของจุดศูนย์กลางวงกลมในสมการ $y=x+c$ จะได้ว่า $c=0$
ดังนั้นสมการที่โจทย์ถามคือ $y=x$

แต่ข้อนี้ผมติดใจอยู่อย่างหนึ่งว่า ทำไมผมแก้สมการหาจุดสัมผัสของเส้นตรง $y=-x+4$ บนวงกลม $(x+\frac{9}{2})^2+(y+\frac{9}{2})^2=\frac{115}{2}$ นี้ไม่ได้ และถ้าผมจะแย้งว่า ไม่มีจุด $A$ ตามที่โจทย์ต้องการจะได้ไหม แล้วผมตอบว่า ไม่มีเส้นตรงตามที่โจทย์ถาม

[lek2554]

โจทย์ผิดครับ เส้นโค้ง $x^2+y^2+9x+9y-17=0$ กับ เส้นตรง $y=-x+4$ ไม่สัมผัสกัน

แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์นิดหน่อย เช่น กำหนดสมการเส้นโค้ง $x^2+y^2+9x+9y-44=0$ สัมผัสกับส้นตรง $y=-x+4$ ที่จุด $A$ ก็จะถูกต้อง และทำได้หลายวิธี เช่น

ถ้ารู้ว่าสมการ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ เป็นสมการของกราฟวงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(h,k)$ และมีรัศมีเท่ากับ $r$

ก็อาจทำได้โดยจัดรูปสมการ $x^2+y^2+9x+9y-44=0$ เป็น $(x+\frac{9}{2} )^2+(y+\frac{9}{2} )^2=\frac{169}{2} $ ซึ่งจะเป็นสมการของกราฟวงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(-\frac{9}{2},-\frac{9}{2})$

และเนื่องจากเส้นตรง $y=-x+4$ สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ ดังนั้นเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด $A$ จะต้องมีสมการอยู่ในรูป $y=x+c$

และเนื่องจากเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด $A$ จะต้องผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม จึงได้ว่า $c=0$

ดังนั้นสมการของเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่จุด $A$ คือ $y=x$




ปล.พิมพ์ค้างไว้ มาพิมพ์ต่อ คุณหมอตอบไปก่อนแล้ว โดนคุณหมอตัดหน้าประจำ

[JSompis]

ขอบคุณทั้งสองท่านครับ
แสดงว่าข้อนี้โจทย์ผิด

[กิตติ]

ใจตรงกันครับพี่เล็ก ข้อนี้น่าจะแจกแต้ม หรือจงใจให้ตอบว่า ไม่มีสมการเส้นตรงตามที่โจทย์ถาม เดาใจคนออกไม่ถูก

[artty60]

ผมคิดว่าถ้ารูปของ#86ถูกต้อง พิกัดจุดA คือ(2,2)

แทนค่าในสมการที่โจทย์ให้มาแล้วไม่เท่ากับ0

ดังนั้นจุดAจึงไม่น่าจะอยู่บนเส้นรอบวงนี้

[กิตติ]

น้องอาทครับ ภาพวงกลมเป็นภาพสมการวงกลมใหม่ที่พี่เล็กลองเปลี่ยนตัวเลข แต่ใช้สมการเส้นตรงเดิมจากโจทย์ครับ ลองอ่านซ้ำอีกทีครับ