โจทย์จากสมาคม ปี46

[RedfoX]

โจทย์จากสมาคมปี 46 ครับ (ถ้าเคยเฉลยแล้วขออภัยนะครับ)
1.\[
2x = a - ca^{ - 1} \& 2y = b - cb^{ - 1}
\]
ค่าของ\[
xy + \sqrt {(x^2 + c)(y^2 + c)} = ?
\]
2.ให้ \[a_1 ,a_2 , \ldots ,a_{100} \] เป็นลำดับเลขคณิต โดยที่
\[
5a_{51} = a_{53} + 16
\]
แล้ว
\[
\sum\limits_{n = 1}^{100} {a_n } = ?
\]
3. มีลูกบอล 8 ลูกอยู่ในกล่อง เป็นลูกบอลสีดำ 3 ลูก และเป็นลูกบอลสีขาว 5 ลูก สุ่มหยิบออกมา 2 ลูก ถ้าลูกใดเป็นสีขาว จะระบายให้เป็นสีดำ แล้วใส่คืนกล่อง จากนั้น หยิบออกมาใหม่ 2 ลูก ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองลูกจะเป็นสีดำเป็นเท่าใด
(สามข้อนี้ขอ hint ก่อนนะคร้าบ)
4.ให้
\[
A = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
4 & a \\
b & c \\
\end{array}} \right]
\]
โดยที่ a,b,c เป็นจำนวนเต็ม ถ้า
\[
(A + I)^3 = 3A + I\& \det (A + 3I) \ne 0
\]
แล้ว เมตริกซ์ A ที่มีสมบัติดังนี้มีกี่เมตริกซ์
5. กำหนด ให้ A,B,C เป็น เซตซึ่ง
\[
n(A \cup B \cup C) = 6\& n(B \cap C) = 2
\]
ถ้า
\[
n(A \times B) = n(A \times C) = 6
\]
แล้ว
\[
n(A - (B \cap C)) = ?
\]
(2 ข้อ นี้ขอเฉลยเลยนะครับ ทำแล้วแต่ไม่แน่ใจนะครับ)

[nongtum]

1. หา $x^2+c$ และ $y^2+c$ ก่อนครับ

2. เปลี่ยนสมการโจทย์ให้อยู่ในเทอมของ $a_1$ และผลต่างร่วม $d$ จัดรูป แล้วพิจารณาอัตราส่วนของสมการที่ได้กับ $\sum_{i=1}^{100} a_i$

3. แจงกรณีตามจำนวนบอลสีดำที่หยิบได้ครั้งแรก

4. กระจาย $(A+I)^3$ เพื่อหาเงื่อนไขของ $\det A$ ให้เสร็จก่อน แล้วแทน $A$ เพื่อหาความสัมพันธ์ของ $a,b,c$
หลังจากนั้นค่อยแทน $A$ ลงในสมการโจทย์ฺ ใช้ $\det$ และความสัมพันธ์ที่หาไว้ก่อนหน้า เพื่อหาเงื่อนไขของ $ab$ สำหรับแต่ละ $c$

ข้อนี้ผมคิดได้ 22 เมตริกซ์ครับ

5. แจงกรณีตามจำนวนสมาชิกของ $A\cap B\cap C$ บวกกับเงื่อนไขโจทย์ (ใช้แผนภาพเวนน์)
ในที่สุดจะได้ $n(A)=2,\ n(B\cap C)=2$ และ $A$ กับ $B\cup C$ ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ดังนั้นข้อนี้ตอบ 2 ครับ

[RedfoX]

ขอบคุนครับจะลองกลับไปทำดูนะครับ

[RedfoX]

\[
\begin{array}{l}
A^3 + 3A^2 + 3A + I^3 = 3A + I \\
A^3 + 3A^2 = 0 \\
A^2 (A + 3I) = 0 \\
\det [A^2 (A + 3I)] = 0 \\
\det (A + 3I) \ne 0 \\
\det A^2 = 0 \\
4c - ab = 0 \\
4c = ab \\
\end{array}
\]
ทีนี้ผมหาอยู่นานคับว่าเงื่อนไขสมาชิกมีแค่นี้จริงหรือ แล้วก็คิดไม่ออกครับ ช่วยทีนะครับ

[nongtum]

แทน $A=\bmatrix{4&a\\ b&c}$ ใน $(A+I)^3=3A+I$ สิครับ

[RedfoX]

1.\[
S = \{ z \in C/\left| {z - 2000} \right| + \left| {z - 2001} \right| + \left| {z - 2002} \right| + \left| {z - 2003} \right| = 4\}
\]
ถ้า a & b คือค่ามากที่สุดและค่าน้อยที่สุดของเซต
\[
\{ x/x = \left| {z - (2000 + i)} \right|,z \in S\}
\]ตามลำดับ
แล้ว a-b มีค่าเท่ากับเท่าใด
2.จงหาจำนวนสมาชิกของเซต
\[
\{ (x,y) \in I \times I/x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y\}
\]
3.ให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะบวกซึ่ง
\[
p^2 + q = 37q^2 + p
\]
จงหาคู่อันดับ (p,q) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
รบกวนท่านผู้มีความสามารถอีกครั้งนะครับ ขอ hint ก่อนนะครับ

[nongtum]

เอาข้อสามก่้อนนะครับ ผมคิดได้ว่ามีคู่อันดับเดียวคือ $(p,q)=(43,7)$
เริ่มจากเขียนเทอมโจทย์ใหม่ เพื่อให้ใช้ $p-q$ หารตลอดได้ สังเกตว่า $p\ne q$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ (ทำไม)
ที่เหลือลองนั่งแจงกรณีเองดูก่อนนะครับ

[RedfoX]

กลับมาขุดคับ ช่วยกันแนะแนวคิดทีนะครับ

[RedfoX]

ข้อ 1 กะ 2 ยังทำไม่ได้เลยนะครับ รบกวนทุกท่านช่วนแนะแนวคิดด้วยนะครับ

[mercedesbenz]

ข้อ 2 ลองทำจาก $$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{n}{2}(2a_{1}+(n-1)d)$$
ซึ่งตอนนี้เราต้องการ $S_{100}=?$

[bell18]

วิธีคิดข้อที่1.ครับ
จาก $2x=a-ca^{-1}$ จะได้ $4x^{2}=(a-ca^{-1})^{2}$
และจาก $2y=b-cb^{-1}$ จะได้ $4y^{2}=(b-cb^{-1})^{2}$
ดังนั้น $x^{2}+c=\frac{1}{4}(a-ca^{-1})^{2}+c$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ
$\frac{1}{4}(a+ca^{-1})^{2}$
และในทำนองเดียวกัน จะได้ $y^{2}+c=\frac{1}{4}(b+cb^{-1})^{2}$
$\therefore xy+\sqrt{(x^{2}+c)(y^{2}+c)}$
=$\frac{1}{4}(a-ca^{-1})(b-cb^{-1})+\frac{1}{4}(a+ca^{-1})(b+cb^{-1})$
=$\frac{1}{2}(ab+c^2a^{-1}b^{-1})$

[bell18]

ส่วนข้อที่2.ครับ
จากโจทย์จะได้ $5(a_1+50d)=a_1+52d+16$
แล้วก็จะได้ $2a_1+99d=8$
ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}a_n=\frac{100}{2}(2a_1+99d)=50(8)=400$

[RedfoX]

ขอโทษทุกท่านนะครับ พอดีบอกผิด มันต้องเป็น ข้อ 1,2 ของ rep ที่ 6 นะครับ

[nongtum]

ผมยังนึกไม่ออกว่าจะลุยข้อแรกในความคิดเห็นที่ 6 ยังไง แต่ข้อสองลองบวก 1 ทั้งสองข้างแล้วจัดรูปใหม่สิครับ
(ได้แต่เสนอไอเดีย เพราะผมยังไม่มีเวลาลุยสองข้อนี้ครับ)

[putmusic]

นี่เป้นข้อสอบสมาคม ม.ปลาย ่มั้ยครับ เพราะมันไม่เหมือนของ ม.ต้นที่ผมมีเลยอ่ะครับ