คิดให้หน่อยคับ

[jabza]

1.$\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z} } } = k แล้ว xyzมีค่า เท่ากับเท่าใด$

[t.B.]

$\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z} } } = k $ --(1)
$\therefore x\sqrt{y\sqrt{z} } = k^2 $ --(2)
(2)-(1);

$ \sqrt{y\sqrt{z} } (x-\sqrt{x} ) = k^2-k$
$ \frac{k^2}{x} (x-\sqrt{x} ) = k^2-k$
$1-\frac{1}{\sqrt{x} } = 1-\frac{1}{k}$

$\therefore x=k^2 , y=z=1 , xyz=? $

[nongtum]

จาก (2)-(1) ทราบได้อย่างไรครับว่า $\sqrt{y\sqrt{z}}=\sqrt{\sqrt{y\sqrt{z}}}$

[jabza]

ใช่คับ พี่nongtum คิดถูก เพราะผมลองคูณไปแล้ว

มันไม่ได้เท่าเดิมคับ

แล้ววิธีคิดจริงๆทำไงคับ พี่nongtum ขอเวลาไปคิดต่อ

[t.B.]

อ้าว สงสัยเมื่อคืนมึนไปหน่อยครับแยกตัวประกอบผิด(แถมยังได้คำตอบมาอีก)

ถ้าเป็นแบบนี้ข้อนี้ xyz ก็มีหลายคำตอบละครับ เดี๋ยวยกตัวอย่างให้ดูเช่น เงื่อนไขคือ $x,y,z,k\geqslant 0 $
xyz= 0 (เช่น เมื่อ x=y=z=k=0) <<กรณี k=0
xyz = k^2 (เช่น เมื่อ x=k^2,$\sqrt{y\sqrt{z} } $=1)
xyz = k^3 (เช่น เมื่อ x=k^3,$\sqrt{y\sqrt{z} } $=1)
xyz = k^4 (เช่น เมื่อ x=1,y=1,z=k^8)
...........
...........
จะเห็นว่าคำตอบแต่ละตัวไม่ขัดแย้งกับเงื่อนไข เลย?
ทำให้คำตอบมีเป็นอนันต์ชุดและตอบยังไงก็ไม่ผิด ก็แล้วแต่คุณ jabza จะเลือกคำตอบของค่า xyz แบบไหนละครับ

[jabza]

oH !!! My goD


อะไรกันหว่า = =


โจทย์นี้เป็นโจทย์ที่เพื่อนผมฝากมาให้คิดคับ


ก็มัวแต่ไปหาคำตอบ ไม่ได้พิจารณาอะไรเลย -*-



ขอบคุณคับ พี่t.B. เข้าใจแจ่มแจ้งแล้วคับ

[Puriwatt]

ผมลองดูแล้วมีหลายคำตอบจริงๆ

(ถ้าสนใจลองดูวิธีข้างล่างเพิ่มเติมนะครับ--แต่ยังไม่ค่อยสมบูรณ์)

จากโจทย์นำมายกกำลัง2 สามครั้งจะได้ $x^4\cdot y^2\cdot z = k^8$
(1) ในกรณีที่ $k = 0$ จะได้ xyz = 0
(2) กรณี$k \not= 0$ ผมลองสมมุติให้ $x = a^b ; y = a^c ; z = a^d$ โดย $a \in I^+$
จะได้ว่า $k^8 = a^{4b}\cdot a^{2c}\cdot a^d = a^{4b+2c+d}$ และ $a = k^{\frac {8}{(4b+2c+d)}}$
ดังนั้น $xyz = a^b\cdot a^c\cdot a^d = a^{b+c+d} = k^{\frac {8(b+c+d)}{(4b+2c+d)}}$

สรุป เมื่อเรากำหนดค่า b, c, d ใดๆที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน(แบบเดาสุ่ม) แล้วนำไปแทนในสมการ $ a = k^{\frac {8}{4b+2c+d}}$
นำค่า a ที่ได้มาแทนในสมการ $x = a^b ; y = a^c ; z = a^d$ ที่สอดคล้องกับสมการ $\sqrt{x\sqrt{y\sqrt{z}}} = k$
ก็จะได้ค่าของ x, y, z เป็น $x = k^{\frac {8b}{4b+2c+d}} ; y = k^{\frac {8c}{4b+2c+d}} ; z = k^{\frac {8d}{4b+2c+d}}$

แล้วจะได้ว่า $xyz = k^{\frac {8(b+c+d)}{(4b+2c+d)}}$ ครับ