ช่วยหน่อยครับ ขอไม่ถึก

[banker]

[quote]Ex. 1−10000 มี 0 กี่ตัว[/QUOTE

แนวนี้ผมไม่ถนัดสูตร แต่ใช้นับเอาครับ

โดยนับตั้งแต่ 001 ถึง 9999 แล้วค่อยเพิ่ม 0 อีก 4 ตัวจาก 10,000

ตั้ง 0 ตรงหลักหน่วย จะนับ 0 ได้ 999 ตัว

ตั้ง 0 ที่หลักสิบ นับ 0 ได้ 99x10 = 990 ตัว

ตั้ง 0 ที่หลักร้อย นับ 0 ได้ 9x100 = 900 ตัว

รวม 0 = 999+990+900+4 = 2893 ตัว

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ดังนั้น$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=4-\frac{1}{c}$ ...(+)
$(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=4-\frac{1}{a}$ ...(-)
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})=4-\frac{1}{b}$ ...(/)

$(\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2 -\frac{1}{a} -\frac{1}{a^2}= 3$ ...(*)
$(\frac{1}{a} +\frac{1}{c})^2 -\frac{1}{b} -\frac{1}{b^2}= 4$ ...(@)
$(\frac{1}{a} +\frac{1}{b})^2 -\frac{1}{c} -\frac{1}{c^2}= 5$ ...(%)

นำมาแทนค่าในสามสมการนี้จะได้ว่า
$13a=9 , 14b=9+\frac{1}{3} ,15c=12+\frac{3}{11} $
$13a+14b+15c = 30\frac{20}{33} $ ไม่ใช่นะครับ

จาก(+)
ได้$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2=16-\frac{8}{c}+\frac{1}{c^2}$
นำค่าที่ได้แทนใน(%);$16-\frac{8}{c}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c} -\frac{1}{c^2}= 3$
ได้$16-\frac{9}{c}=5$ ได้$11=\frac{9}{c}$ ฉะนั้น$ 15c=12+\frac{3}{11} $
ทำนองเดียวกันถ้าใช้(-)ยกกำลัง2แล้วนำค่าที่ได้ไปแทนใน(*)ได้$16-\frac{9}{a}=3$ ได้$13a=9$
ถ้าใช้(/)ยกกำลัง2แล้วนำค่าที่ได้ไปแทนใน(@)ได้$16-\frac{9}{b}=4$ ได้12$=\frac{9}{b}$
ได้$b=\frac{3}{4}$ ฉะนั้น $14b=\frac{21}{2}=10+\frac{1}{2}$
เพราะฉะนั้น$13a+14b+15c =9+12+\frac{3}{11}+10+\frac{1}{2}=31\frac{17}{22}$ ตอบ

[กิตติ]

ขอบคุณครับที่ช่วยตรวจสอบให้ครับ....รีบคิดเกินไป เลยตอบผิดครับ
ขอบคุณครับท่านไซโคลน.....ลูกชายสองคนชอบไซโคลนครับ บอกว่าเปิดการ์ดไซโคลนแล้วการ์ดบนฟิลด์ถูกปัดออกหมด

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

$x,y,z \in I^+$ ถ้า $x<y<z ,$ $\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{xy} -\dfrac{1}{xyz}=\dfrac{19}{97}$แล้ว $4x+3y+4z$ = ?

ข้อนี้เล่นเอาปั่นป่วนไปค่อนวัน....เพราะมัวแต่หาค่า$x$จากสมการ หาไปค่อนวันสรุปได้แค่ว่า$x$มากที่สุดคือ5....เพราะแปลงสมการได้$yz=\frac{97(z+1)}{97-19x} $...เมื่อโจทย์กำหนดให้$x,y,z$เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น$yz$ย่อมเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น$\frac{97(z+1)}{97-19x} $ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก เราได้ว่า$97-19x$ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกก่อน จะได้ว่าค่า$x$มากที่สุดคือ$5$ ....$x$จึงเป็นไปได้คือ$1,2,3,4และ5$....ได้เท่านี้แล้วก็ตัน
ลองแปลงพจน์อีกจะได้ว่า$z=\frac{97xy-90}{97+19xy} $
สมมุติให้$m=\frac{97xy-90}{97+19xy} $และ$m$ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ตามค่า$z$...จัดหน้าตาใหม่จะได้ว่า$xy=\frac{97m+90}{97-19m} $ จากตรงนี้$m$ก็ได้ค่าตั้งแต่$1,2,3,4และ5$....ลองแทนค่าลงไปตั้งแต่$1,2,3,4ถึง5$...ไม่มีค่า$xy$ที่เป็นจำนวนเต็มบวก......มึนแล้วครับ จะยอมแพ้อยู่แล้ว นึกได้ว่าเคยทำโจทย์ในหนังสือรวมโจทย์ปราบเซียนคณิตศาสตร์ ของดร.อิทธิ ฤทธาภรณ์ (เรียบเรียง) มีโจทย์ข้อหนึ่งที่ถามว่า $\frac{1}{\Delta } +\frac{1 }{\bigcirc }+\frac{1}{\bigtriangledown } = \frac{1}{12} $.....ก็สอนแนวคิดให้ เลยลองมาแก้โจทย์ข้อนี้...โป๊ะเซะ....ได้ มาลองดูกันครับ

จาก$\frac{19}{97} $.....เรารู้ว่า$19\times 5 =95 =97-2$ ดังนั้นเอา$5$คูณเศษส่วนทั้งบนและล่างก็จะได้ว่า$\frac{19\times 5}{97\times 5} =\frac{97-2}{97\times 5} =\frac{1}{5}-\frac{2}{97\times 5} $
พจน์แรกมาแล้ว แล้วต้องคงพจน์$5$นี้ในพจน์ต่อไป มาดู$\frac{2}{97\times 5}$ เรารู้อีกแล้วว่า$2\times 49 = 98=97+1$ ตอนแรกคิดเอาพจน์ลบกัน แต่คราวนี้คิดเอาพจน์บวกกัน เพราะพจน์$\frac{2}{97\times 5}$มีเครื่องหมายติดหน้าว่าลบเมื่อกระจายเข้าไป ก็จะได้ลบ...ตรงตามที่โจทย์ถาม มากระจายต่อ
$\frac{2 }{97\times 5}=\frac{2\times49 }{97\times 5\times 49}=\frac{97+1}{97\times 5\times 49}=\frac{1}{5\times 49}+\frac{1}{5\times 49\times97} $
จะได้ว่า$\frac{19}{97} =\frac{1}{5}-(\frac{1}{5\times 49}+\frac{1}{5\times 49\times97}) = \frac{1}{5}-\frac{1}{5\times 49}-\frac{1}{5\times 49\times97} $
จะได้ว่า$x=5,y=49และz=97$...$x+y+z=151 ,x+z=102$
$4x+3y+4z=3(x+y+z)+(x+z) =3(151)+102=453+102=555$
ตอบ....$555$
ออกเสียที...5555555555555555555555555555555555
นั่งทำโจทย์แล้วเห็นนิสัยตัวเองชัดๆเลยว่า...ดื้อเพ่ง มันตันมันไม่ได้ก็ยังพุ่งเข้าไปอีกด้วยวิธีเดิม ไม่ยอมถอยออกมาตั้งหลัก นึกดีๆมองโจทย์ให้ชัดๆ แล้วนึกดูว่าในหัวมีองค์ความรู้อะไรที่ช่วยแก้โจทย์ได้บ้าง วิธีหลังใช้เวลานั่งทำไม่ถึง$5$นาทีก็ออก ทั้งที่วิธีเดิมเสียเวลาตั้งค่อนวันไม่ได้คำตอบ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

ท่านไซเรนคึกจังเลยนะครับ....
ผมช่วงนี้ก็อ่อยลงไปเยอะไม่ค่อยได้ทำเลขประยุกต์แนวนี้ซักกะเท่าไหร่--*....
เห็นท่านเป็นแบบนี้แล้วอายตัวเองจริงๆ--*.....
แต่ละข้อนี้ไม่ทราบเอามาจากหนังสือทำเฉลย สอวน.รอบแรก/พีช/เรขา หรือเปล่าครับ

สอวน โอลิมปิกรอบแรก สพฐ. รอบ 2 เพชรยอดมงกุฎ ..........

[Siren-Of-Step]

กำหนด $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$


จงหาคำตอบของสมการ

อันนี้ผมมีวิธีของผมแล้ว แต่ มันคิดเลขเยอะค่อด ๆ ขอดูวิธีคิดจากท่านอื่นหน่อยครับ

วิธีผม


$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4} }+\sqrt{\dfrac{1}{4}}=1024$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}}= \dfrac{2047}{2}-x$
$x+\dfrac{1}{4} = \dfrac{(2047)^2}{4}-2047x+x^2$
$x^2-2048x+1047552 = 0$
$(x-992)(x-1056) = 0$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เรื่องสูตร..ผมไม่ค่อยชอบจำ....ชอบคิดแบบถึกๆครับ
ถ้าจำได้จำง่ายก็ดีครับ....บางทีโจทย์ไม่ได้ถามเลขศูนย์กลับถามว่า
ตั้งแต่1-10000 มีเลขหนึ่งทั้งหมดกี่ตัว....
หรือเขาถามว่า จาก55-5555 มีเลขศูนย์กี่ตัว อันนี้คงต้องใช้วิธีประยุกต์การหามาดีกว่า

ที่ผมถามเพราะ เวลาในห้องสอบเวลาเหลือ นิดเดียว ถ้าโจทย์ ถาม $1-1000000$ จะทำยังไงดีครับ นอกจากมั่ว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

กำหนด $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$


จงหาคำตอบของสมการ

อันนี้ผมมีวิธีของผมแล้ว แต่ มันคิดเลขเยอะค่อด ๆ ขอดูวิธีคิดจากท่านอื่นหน่อยครับ

วิธีผม


$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4} }+\sqrt{\dfrac{1}{4}}=1024$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}}= \dfrac{2047}{2}-x$
$x+\dfrac{1}{4} = \dfrac{(2047)^2}{4}-2047x+x^2$
$x^2-2048x+1047552 = 0$
$(x-992)(x-1056) = 0$

จากบรรทัดนี้
$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$


มาเป็นบรรทัดนี้
$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{4} }+\sqrt{\dfrac{1}{4}}=1024$

สุดยอดเลยครับ


กว่าจะมองออกว่ามาจาก

$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$

$x + \sqrt{x+ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} +2 \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{x+\frac{1}{4}} } = 1024 $

$x + \sqrt{\left(\sqrt{(x+ \frac{1}{4}}\right)^2 +2 \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{x+\frac{1}{4}} +\left( \sqrt{\frac{1}{4}}\right)^2} = 1024 $

$x+ \sqrt{\left( \sqrt{x+\frac{1}{4}}+ \sqrt{\frac{1}{4}}\right)^2 } = 1024$

$x + \sqrt{x+\frac{1}{4}}+ \sqrt{\frac{1}{4}} =1024$

[Siren-Of-Step]

ช่วยข้อนี้หน่อยครับ

$$x^x = 2008$$ (x กำลัง x ไปเรื่อยๆ)
$$y^y= 2551$$ (y กำลัง y ไปเรื่อยๆ)

จงหาค่าของ
$$x^{2551-543} + y^{2008+543} = ?$$

$(Eximius 1)$

[Siren-Of-Step]

มีำจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $n^3 - 8n^2 + 20n - 13$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ จำนวนนั้นได้แก่อะไรบ้าง

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ช่วยข้อนี้หน่อยครับ
$x^x = 2008$ (x กำลัง x ไปเรื่อยๆ)
$y^y= 2551$ (y กำลัง y ไปเรื่อยๆ)
จงหาค่าของ
$x^{2551-543} + y^{2008+543} = ?$
$(Eximius 1)$

เนื่องจากx กำลัง x ไปเรื่อยๆเท่ากับ2008 ฉะนั้น$x^{2008}=2008$ เพราะว่าxกำลัง x ไปเรื่อยๆเท่ากับ2008จึงเอามาแทนอีกรอบ
ทำนองเดียวกัน$y^{2551}=2551$
ได้$x^{2551-543}=x^{2008}$ และ$y^{2008+543}=y^{2551}$
เพราะฉะนั้น$x^{2551-543} + y^{2008+543} = 2008+2551=4559$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

มีจำนวนเต็มบวก $n$ กี่จำนวนที่ทำให้ $n^3 - 8n^2 + 20n - 13$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ จำนวนนั้นได้แก่อะไรบ้าง

$n^3 - 8n^2 + 20n - 13 =(n-1)(n^2-7n+13)$
พิจารณาจำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารด้วย1กับตัวจำนวนนั้นลงตัว
ดังนั้น$n-1=1$ หรือ$n^2-7n+13=1$
$n=2$ หรือ $n^2-7n+12= (n-3)(n-4)$....$n=3,4$
แทนค่า เมื่อ$n-1=1\rightarrow n=2$...ได้จำนวนเฉพาะคือ$3$
$n^3 - 8n^2 + 20n - 13=1$ ได้ค่าของ$n= 3$ และ$4$
แทนค่าได้จำนวนเฉพาะคือ$2$ และ$3$

มีค่า$n$ที่ทำให้$n^3 - 8n^2 + 20n - 13$เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อ$n$เท่ากับ$2,3$และ$4$ โดยได้จำนวนเฉพาะคือ$2$และ$3$

[Siren-Of-Step]

ใครมีโจทย์ที่คิดว่าต้องแก้แบบถึกๆ ช่วยลงให้หน่อยครับ

ผมจะได้ถึกด้วยคน

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

กำหนด $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = 1024$
จงหาคำตอบของสมการ

ผมไม่ใช้วิธีการแก้สมการแต่ลองแปลงพจน์ด้านซ้ายมือที่ติดค่า$x$ให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดก่อนโดยไม่ยุ่งกับ$1024$
จาก$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
แปลง$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
จาก$\sqrt{a+\sqrt{b} } = \sqrt{c} +\sqrt{d} $
ยกกำลังสองแล้วได้$a+\sqrt{b} = c+d+\sqrt{4cd} $
ดังนั้น $c+d =a$ และ$4cd=b$
ให้$a=x+\frac{1}{2} $และ$b=x+\frac{1}{4}$ $\rightarrow x=4cd-\frac{1}{4} $
$c+d =x+\frac{1}{2}$ และ แทนค่า$x$ลงไปจะได้ $c=\frac{1}{4} $ และ$d=x+\frac{1}{4}$
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$

$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} =x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$
$x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 1024 =4^2\times 8^2$
นำไปหารูทที่สองจะได้ว่า
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=\sqrt{4^2\times 8^2} = 4\times 8 =32$
$\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 32$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{63}{2} $
ยกกำลังสองอีกที $x+\frac{1}{4} =\frac{63^2}{4} $
$x=\frac{63^2-1}{4} = \frac{62\times 64}{4} =62\times 16= 992$
ลองแทนคำตอบดูแล้วใช้ได้....ผมไม่แน่ใจว่าวิธีของผมนั้นจะถูกต้องหรือเปล่าลองแปลงไปเรื่อยๆก่อนเท่านั้น ตรงไหนคิดผิดก็ช่วยบอกผมด้วยครับ

ที่น้องSirenใช้วิธีแบบนั้นก็ได้คำตอบสองค่า แต่อย่าลืมลองแทนกลับดูว่าค่าไหนใช้ได้ค่าไหนใช้ไม่ได้ด้วย
ที่หาได้นั้นคือ$(x-992)(x-1056)=0 \rightarrow x=1056$นั้นใช้ไม่ได้เพราะทำให้$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = -32 $ซึ่งค่าที่ถอดจากรูทนั้นต้องเป็นบวกเท่านั้น จึงเหลือคำตอบเดียวคือ$x=992$

[กิตติ]

โจทย์ถึกๆ ผมไม่ได้สะสมไว้เลยครบโดยเฉพาะของม.ต้น กำลังเริ่มทวนของประถมปลายให้ลูก ส่วนของม.ต้นลองฟื้นความรู้เดิมที่หลงเหลือในหัวดู ผิดถูกยังไงบอกผมด้วยแล้วกันครับ...ความรู้ก็เก็บตกเอาในบอร์ดนี้แหละครับ มีคนเก่งใจดีแถมมีน้ำใจเยอะ ไม่หวงเทคนิค....แค่โจทย์เตรียม...Eximius1ก็โหดแล้ว ดูแล้วแทบไม่อยากทำเลย..น้องSirenน่าจะหาโจทย์มาให้คนแก่ฟื้นความรู้..รบกวนหน่อยครับ