Topic in Algebra (โจทย์)

[shinn]

ใครทำได้ช่วยทำหน่อยนะครับ เป็นข้อสอบมิดเทอมครับ โคตรยาก
1.Show that if G is an abelian group which is simple ,then G is cyclic of prime order.
2.Let G = $D_8$=<a,b:$a^4$=$b^2$=1 ,$b^{-1}$ab=$a^{-1}$>
H=$Q_8$=<c,d:$c^4$=1 ,$c^2$=$d^2$,$d^{-1}$cd=$c^{-1}$>
Let X,Y be the 2x2 matrices which are given by
X=$\bmatrix{0 & i \\ i & 0}$ , Y=$\bmatrix{0 & -1 \\ 1 & 0}$
and let L be the subgroup <X,Y> of GL(2,C).
Show that just one of the function l:Gฎ L and m:Hฎ L ,defined by
l : $a^r$.$b^s$ฎ $X^r$.$Y^s$ , m : $c^r$.$d^s$ฎ $X^r$.$Y^s$
(0ฃrฃ3 , 0ฃsฃ1) ,
is a homomorphism. Prove that this homomorphism is an isomorphism.
3.Suppose that H is a subgroup of G with lG:Hl=2 .Prove that HG .

เด๋ยวมาโพสท์ให้อีกนะครับ มีทั้งหมด 10 ข้อครับ โคตรยากกกกกต์

[shinn]

4.If $v_1$,$v_2$,$v_3$,...,$v_k$ are linearly independent vectors in V , then there exist $v_{k+1}$,$v_{k+2}$,...,$v_{n}$ form a basis of V.
5.Suppose that B is a basis of the vector space V,and that $f$ and $g$ are endomorphisms of V. Then
(4.1) $[f+g]_B$=$[f]_B$+$[g]_B$
and (4.2)Also,for all scalars l ,$[\lambda.f]_B$=l.$[f]_B$
6.Show that if V and W are vector spaces and f:VฎW is an invertible linear transformation then $f^{-1}$ is a linear transformation.
7.Suppose that $U_1$,...,$U_r$ are subspaces of the vector space V,and that
V=$U_1$ล...ล$U_r$ .Prove that dim V = dim $U_1$+dim$U_2$+...+dim$U_r$

[M@gpie]

ขอลองมั่งนะคับ แหะๆ Abstract algebra ไม่เคยเรียน ขอลอง linear algebra ดีกว่า

ข้อ 5. Endomorphism หมายความว่าไงครับ ไม่เคยเจอมาก่อนครับ

ข้อ 6. เนื่องจาก $f$ invertible $\Rightarrow f $ is ono-to-one mapping
ให้ $f(v_1) =w_1, \;\; f(v_2)=w_2, \;\; v_1,v_2 \in V, \; w_1,w_2 \in W$
จะได้ว่า $ f(\alpha v_1 + \beta v_2)=\alpha f(v_1) + \beta f(v_2) = \alpha w_1 +\beta w_2 \in W $
จากคุณสมบัติ 1-1 ของ $f$ จะได้ว่า $\alpha v_1 + \beta v_2 = f^{-1}(\alpha w_1 +\beta w_2) \in V$ และ $v_1=f^{-1}(w_1), \; v_2=f^{-1}(w_2)$
ดังนั้น $f^{-1}(\alpha w_1 +\beta w_2) = \alpha f^{-1}(w_1) + \beta f^{-1}(w_2)$
นั่นคือ $f^{-1}: W \rightarrow V $ is also a linear transformation

[warut]

เอ...เอาข้อสอบมาให้คนอื่นทำให้มันจะดีเหรอครับ

แต่ยากจริงแฮะ ข้อ 1. นั่นเป็น Qualify Exam ที่คุณ nooonuii เอามาแปะให้ผมทำเมื่อเร็วๆนี้ไม่ใช่เหรอครับ ขนาดคุณ nooonuii ยังจัดข้อนี้อยู่ในกลุ่มยากเลย

ข้อ 3. นี่คิดว่าเป็นแบบฝึกหัดมาตรฐาน ไม่น่าจะยากนะครับ แต่เอ๊...มันทำยังไงหว่า

ข้อ 2. ยังขี้เกียจอ่านโจทย์อยู่เลยครับ

ข้อ 4. นี่คือการพิสูจน์ existence ของ basis ใช่เปล่าครับ แล้วอย่างนี้ก็ต้องใช้ Axiom of Choice น่ะสิ เอ้ย...จะเอาถึงระดับนี้เลยเหรอ ผมต้องเข้าใจอะไรผิดแน่ๆ ใครเข้าใจช่วยชี้แนะด้วยครับ

ส่วนข้อที่เหลือรอ comment จากคุณ M@gpie ละกัน (อย่างนี้เค้าเรียกว่า...โบ้ย ครับ )

[nooonuii]

อืม...ขอไม่เฉลยแบบเต็มๆนะครับ เพราะเห็นว่าจะไปสอบต่อโทที่จุฬาฯ อยากให้ลองทำดูก่อนหลังจากให้ Hint ไปแล้วครับ เพราะข้อสอบจุฬาฯก็จะออกประมาณนี้แลฯ ถ้าไม่เข้าใจตรงไหนค่อยมาถามอีกทีก็แล้วกันครับ

1. ข้อนี้คุณ Warut ทำไว้ให้ดูอย่างสมบูรณ์แล้วในกระทู้ Algebra Marathon ครับ

2. สังเกตว่า $X^2=Y^2$ จึงควรจะเดาว่า $\mu$ คือ homomorphism ครับ ส่วนการพิสูจน์ก็เลือกพิสูจน์แค่ตัว generator ก็พอครับ ให้พิสูจน์ว่า $X,Y$ สอดคล้องความสัมพันธ์ของ $c,d$ ทั้งหมดครับ ดูให้ดีว่า $X$ มีคุณสมบัติเหมือน $c$ หรือ $d$ การพิสูจน์ว่า $\mu$ เป็น isomorphism ให้พิสูจน์ว่า $\mu$ onto ครับซึ่งไม่ยาก ส่วน one-to-one ได้มาโดยไม่ต้องพิสูจน์เพราะเรากำลังพิสูจน์บนเซตจำกัด

3. ข้อนี้ถ้าใช้วิธีง่ายๆก็เล่นกับ coset และนิยามของ normal subgroup ครับ ข้อความนี้ยังจริงถ้าเราแทน $2$ ด้วย $p$ เมื่อ $p$ เป็น prime divisor ที่เล็กที่สุดของ $|G|$ การพิสูจน์ค่อนข้างยากครับเพราะต้องใช้ Group Action

4. ดูจากข้อสรุปที่โจทย์ต้องการ โจทย์ขาดเงื่อนไขว่า V เป็น finite dimensional vector space ครับ ไม่อย่างนั้นอาจจะต้องใช้ Axiom of Choice อย่างที่คุณ Warut ว่า

สมมติว่า V เป็น finite dimensional vector space นะครับ
ให้ $dim V = n$ ถ้า $k=n$ จบ
ถ้า $k < n$ สมมติว่า $\{v_1,...,v_k,v\}$ เป็น linearly dependent set ทุก $v\in V$ จะได้ว่า $dim V \leq k < n$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้นจะต้องมี $v_{k+1}\neq 0$ ซึ่งทำให้ $\{v_1,...,v_k,v_{k+1}\}$ เป็น linearly independent set ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆก็จะได้ basis ครับ

5. Endomorphism คือ homomorphism ซึ่งส่งจาก $S$ ไปยัง $S$ เมื่อ $S$ เป็น algebraic object ใดๆ นิยามนี้ใช้ได้ทั่วไปกับเซตใดๆซึ่งมี Algebraic structure ครับ เช่น Semigroup, Group, Ring, Field, Module, Vector space, etc.

ในกรณีนี้ $f,g : V\to V$ ก็คือ linear operator นั่นเองครับ
ข้อนี้ไม่ยากเลยถ้าเข้าใจนิยามของ $[f]_B$ ครับ ทำตรงๆ ไม่ต้องคิดลึก

6. น้อง Magpie ทำไว้ให้แล้วครับ

7. ข้อนี้จะมั่วสัญลักษณ์นิดหน่อยเพราะต้องหยิบเอา basis ของแต่ละ $U_i$ มา แล้วก็เอามารวมกันไว้ในเซตเดียวกันจากนั้นก็แสดงว่ามันทำหน้าที่เป็น basis ของ $V$ พิสูจน์ว่ามัน linearly independent กันแค่นี้ก็พอครับเพราะว่า direct sum ของ ทั้งหมดมันเต็ม $V$ อยู่แล้วซึ่งก็หมายความว่ามัน span $V$ ไปเรียบร้อย ตอนพิสูจน์อย่าลืมใช้เงื่อนไขสำคัญของ direct sum นะครับ

ป.ล. น้อง Shinn เป็นนักเรียนทุนพสวท. รึเปล่าครับ

[M@gpie]

ข้อ 7. ผมคิดแบบเดียวกะพี่ noonuii บอกเลยครับแต่ว่าเขียนพิสูจน์แล้วมัน งงๆ หลักการคือ
1. หยิบ basis ในแต่ละ $U_i$ มา
2. แสดงให้เห็นว่ามันเป็น basis ใน $V$ และ span ทั่ว V ด้วย
ใช่ไหมครับ ? จะไปลองเขียนไปเขียนมาดู

[shinn]

เป็นข้อสอบมิดเทอมของผมครับวิชา Topic in algebra ครับ โคตรยากก ถ้าเจอข้อสอบ Ring ยากกว่านี้ครับ แต่ผมยังไม่ได้โจทย์คืนครับ วิชา Ring รู้สึกว่าผมทำอยู่ 8 ข้อ อีก 2 ข้อไม่ได้เขียนอะไรซักอย่างเลยครับ ยากเกินไป ผมอยากลองเรียน algebra ให้เยอะๆๆ อยากรู้ว่ามันจะยากแค่ไหน พอได้เรียน ทั้ง 3ตัว(Semigroup ,Ring thm ,Topic in Algebra) ก็รู้เลยครับว่า ...อิ่ม....คงไม่เอาต่อแล้วครับ ถ้าได้เรียนโทรต่อครับ 5555++ ไม่ไหวๆ ขอลองด้านอื่น
ข้อต่อไปเลยนะครับ (ข้อ 8-ข้อ 9)

8.) Suppose that a ,b and g are representations of G over F.
Prove :
(1.) a is equivalent to a
(2.) if a is equivalent to b ,then b is equivalent to a
(3.) if a is equivalent to b ,and b is equivalent to g ,then a is equivalent to g.

9.Let r be a representation of the group G .Suppose that $g$ and $h$ are elements of G such that ($g$r)($h$r)=($h$r)($g$r). Does it follow that $gh$=$hg$ ?

[shinn]

10.Definition
Let G be a subgroup of $S_n$ . The FG-module V with basis $v_1$,$v_2$,...,$v_n$ such that $v_i$g=$v_{ig}$ for all gฮ G , is called the permutation module for G over F .We call $v_1$,$v_2$,...,$v_n$ the natural basis of V.
Suppose that G=$S_3$ ,and that V=sp($v_1$,$v_2$,$v_3$) is the permutation module for G over C (C=complex number) ,as in Definition. Let $A$ be the basis $v_1$,$v_2$,$v_3$ of V and let $B$ be the basis $v_1$+$v_2$+$v_3$,$v_1$-$v_2$,$v_1$-$v_3$ .
Calculate the 3 x 3 matrices $[g]_{A}$ and $[g]_{B}$ for all g in $S_3$
What do you notice about the matrices $[g]_B$ ?

ปล. ผมไม่ใช่เด็ก พสวท. ครับ แต่ดันได้เรียนกับพวกมัน เป็นเด็กใจกล้ามาลงกะเด็กพสวท.คนเดียวเลยมั้งครับ 5555 นั่งนับวันรอสอบไฟนอลแล้วครับ ไม่ใช่ว่าพร้อมสอบนะครับ แค่อยากจะปิดคอร์สซะที 555

[warut]

อ๋อ...เป็นข้อสอบที่สอบผ่านไปแล้วเหรอครับ ผมก็เข้าใจผิดนึกว่าเป็น take-home exam

ผมว่าวิชาทุกอย่างพอเรียนสูงๆขึ้นไปก็ยากหมดแหละ คงไม่ใช่เฉพาะ algebra หรอกครับ analysis, topology, graph theory หรืออื่นๆ ก็คงยากไม่แพ้กัน รวมไปถึงสาขาอื่นๆที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ด้วย เพื่อนผมคนนึงหลังจากเรียนคณิตศาสตร์ลึกลงไปถึงระดับหนึ่ง เขาก็พูดประมาณว่า เขาไม่ชอบคณิตศาสตร์อีกต่อไปแล้ว ซึ่งก็เป็นประโยคที่ผมจำเอามาใช้ด้วยเหมือนกันครับ

[nooonuii]

8. ไม่ยากครับ ปัญหาถูกแปลงไปเป็นการพิสูจน์ว่า similarity ของ matrix เป็น equivalence relation

9. ไม่น่าจะจริงโดยธรรมชาติอยู่แล้วครับ แต่จะจริงถ้า $\rho$ เป็น faithful representation

10. อันนี้ก็คำนวณตรงๆ ตามนิยามครับ โจทย์ข้อนี้น่าจะสนุกเพราะต้องใช้ทั้ง group structure ของ $S_3$ + linear algebra ยังไม่ได้ลองคิดดูครับ

Algebra เป็นเครื่องมือสำคัญของวิชาอื่นครับ มันเข้าไปมีบทบาทในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์แขนงอื่นแทบทุกวิชา เพราะฉะนั้นเรียนเก็บไว้เยอะๆก็ดีครับ ที่เรียนมาสามตัวนี่ยังเป็นแค่บูธโชว์สินค้าเองครับ วิชานี้ใหญ่มากๆ และ ยังไม่ตาย เมื่อก่อนผมก็บ้าวิชา Algebra มากๆ ตอนนี้ก็ยังชอบอยู่แต่รู้สึกอิ่มแล้วเหมือนกันครับ แต่ถึงกระนั้นเทอมหน้าผมก็ยังลงวิชา Algebra ไปอีกสองตัว Homological Algebra กับ Elliptic Curves ดูแล้วน่าจะสนุกโดยเฉพาะตัวหลังนี่อยากเรียนมากกกกกก