พิสูจน์สูตรผลบวกกำลังสาม

[gnap]

พิสูจน์ว่า $$1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2$$
ผมพิสูจน์ไม่ได้ครับ

[Keehlzver]

ลองอุปนัยฯดูหรือยังครับ

$1+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3$
แล้วพยายามพิสูจน์ว่า $(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3=(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2$

[Ulqiorra Sillfer]

ส่วนใหญ่ ข้อนี้ผมเคยเห็นนะครับ ใช้เรื่องการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรต์อะครับ

[Form]

ลองเขียนเป็น$ \Sigma k^3 = \Sigma \frac{ (k+1)^4 -k^4 -6k^2 -4k -1 }{4} $
แล้วก็กระจาย$ \Sigma $ ดูก็ได้ครับ

[nooonuii]

ถ้ารู้จักความสัมพันธ์เวียนเกิดอันนี้จะหาได้ทุกอันดับ

$\binom{k+1}{k}S_k+\binom{k+1}{k-1}S_{k-1}+\cdots+\binom{k+1}{1}S_1+\binom{k+1}{0}S_0=(n+1)^{k+1}-1$

เมื่อ $S_i=1^i+2^i+\cdots+n^i$

สำหรับ $k$ น้อยๆจะได้

$S_0=n$

$2S_1+S_0=(n+1)^2-1$

$3S_2+3S_1+S_0=(n+1)^3-1$

$4S_3+6S_2+4S_1+S_0=(n+1)^4-1$

[gon]

ถ้าจะเข้าค่าย สอวน.อย่าลืมฝึกการพิสูจน์แนวคอมบิไว้ด้วยนะครับ

เนื่องจาก

$$i^3 = (i+1)i(i-1) + i = 6\binom{i+1}{3} +\binom{i}{1}$$
ดังนั้น
$\Sigma_{i=1}^n i^3 = \Sigma_{i=1}^n [6\binom{i+1}{3} +\binom{i}{1}]$

$= 6\Sigma_{i=1}^n\binom{i+1}{3} + \Sigma_{i=1}^n\binom{i}{1}$

$= 6\binom{n+2}{4} + \binom{n+1}{2}$

$= 6(n+2)(n+1)(n)(n-1)/24 + (n+1)n/2$

$= [(n+1)n/4][n^2+n-2+2] = [n(n+1)/2]^2$

[Real Matrik]

ถ้าจะฝึกแบบพีชคณิตก็ลองใช้ Tele sum ดูครับ โดย
ให้ $f(n)=n^3$ แล้วลองหาค่า $\sum_{i=1}^n(f(i+1)-f(i))$ (ในตำรา สอวน. ก็มีเขียนไว้ครับ)

[banker]

พิสูจน์แบบเด็กประถม

$\because \ 1^3 = 1$

$\because \ 2^3 = 8 \ \to \ 1^3 +2^3 = 1+8 = 9 = (1+2)^2$

$\because \ 3^3 = 27 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 = 1+8+27 = 36 = (1+2+3)^2$

$\because \ 4^3 = 64 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 +4^3= 1+8+27+64 = 100 = (1+2+3+4)^2$
.
.
.
$ n^3 = n^3 \ \to \ 1^3 +2^3 + 3^3 +4^3 +...+ n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2$

$ = ((n+1) \times \frac{1}{2} n)^2 \ \ \ $(จับคู่หัวท้าย มี $\frac{1}{2} n$พจน์)

$ = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

[poper]

สุดยอดเลยคร้าบบบบบบบบบบบบ
วิธีหลากหลายมาก ขอบคุณทุกท่านเลยครับ
(ตอบแทน จขกท เลยนะเนี่ย 555)