โจทย์เก่า จาก ข้อสอบ สิรินธร50 1 ข้อ

[Dr.K]

ถามว่า ... มีสามีภรรยา 5 คู่ ถ้าต้องการเลือก บุคคล มา 4 คน โดย มิใช่เป็น สามีภรรยา กันเลย ถามว่า มีกี่วิธี ครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.K

ถามว่า ... มีสามีภรรยา 5 คู่ ถ้าต้องการเลือก บุคคล มา 4 คน โดย มิใช่เป็น สามีภรรยา กันเลย ถามว่า มีกี่วิธี ครับ

solution

ครั้งแรกเลือกคนมา 1 คนให้เป็นคนแรกจะเลือกได้ทั้งหมด 10 คน
ครั้งที่ 2 เลือกคนที่ 2 จาก 9 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 8 คน
ครั้งที่ 3 เลือกคนที่ 3 จาก 7 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 6 คน
ครั้งที่ 4 เลือกคนที่ 4 จาก 5 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 4 คน
ดังนั้นจะมีทั้งหมด (10)(8)(6)(4)=1920 วิธี

[SuperHero_Am_Pro]

ยังงงงงอ่าครับ ผมไม่เคยรู้วิธีคิดแบบนี้อ่ะครับ ใครรู้บอกวิธีหน่อยได้ไหม(ง่ายๆน้า)
แล้วทำไมเลือกแล้วเหลือ 8 7 6 ... ??? งงไปหมดเลยครับ ไขข้อสงสัยที

[kanakon]

ตอนแรกมี 10 คน เลือกไปแล้ว 1 คนเหลือ 9 คน
จาก 9 คนเลือกคนต่อไปโดยไม่สามารถเลือกสามีหรือภรรยาตนเองได้
จึงตัดออกไปอีก 1 คนเหลือ 8 คนคับทำอย่างนี้เรื่อยๆ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

solution

ครั้งแรกเลือกคนมา 1 คนให้เป็นคนแรกจะเลือกได้ทั้งหมด 10 คน
ครั้งที่ 2 เลือกคนที่ 2 จาก 9 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 8 คน
ครั้งที่ 3 เลือกคนที่ 3 จาก 7 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 6 คน
ครั้งที่ 4 เลือกคนที่ 4 จาก 5 คนแต่จะเลือกสามีหรือภรรยาของคนที่เลือกแล้วไม่ได้จึงเหลือที่เลือกได้อี 4 คน
ดังนั้นจะมีทั้งหมด (10)(8)(6)(4)=1920 วิธี

คิดอย่างนี้เป็นการคิดแบบจัดเรียงหรือเปล่าครับ
ถ้าเป็นผมจะคิดแบบนี้ครับ

solution

$\binom{10}{4} - \binom{5}{2} -\binom{5}{1}\binom{4}{1}\binom{6}{1}$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

คิดอย่างนี้เป็นการคิดแบบจัดเรียงหรือเปล่าครับ
ถ้าเป็นผมจะคิดแบบนี้ครับ

solution

$\binom{10}{4} - \binom{5}{2}$

ขอบคุณมากกนะครับ ผมคิดเกินไปมากเลย

[Dr.K]

สงสัยครับว่า ตัวลบ 5C2 เพราะอะไร ครับ 5 คืออะไร และ 2 เป็นตัวแทนอะไร ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.K

สงสัยครับว่า ตัวลบ 5C2 เพราะอะไร ครับ 5 คืออะไร และ 2 เป็นตัวแทนอะไร ครับ

ใช้แนวคิดที่ว่า
1. เลือก 4 คน จาก 10 คน = $\binom{10}{4}$
2. จากข้อ 1จะทำให้ได้จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือก 4 คน จาก 10 คน ซึ่งจะรวมเอา คู่สามีภรรยาเข้าไปด้วย จึงต้องหักส่วนนี้ออก
3. ส่วนนี้คือ มีสามีภรรยา 5 คู่ เลือกมา 2 คู่ = $ \binom{5}{2}$ (จึงเป็นส่วนที่ต้องนำไปลบ)
4. ส่วนนี้คือ มีสามีภรรยา 5 คู่ เลือกมา 1 คู่ = $ \binom{5}{1}\binom{4}{1}\binom{6}{1}$ (จึงเป็นส่วนที่ต้องนำไปลบ)
ข้อ 4 เป็นการคิดโดยเลือกสามี-ภรรยามา 1 คู่จาก 5 คู่ และเหลืออีก 4 คู่ แต่เราเลือกเพียง 1 คน จากกลุ่มของสามีหรือ ภรรยา และเลือกอีก 1 คนจากที่เหลือ 6 คน

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.K

ถามว่า ... มีสามีภรรยา 5 คู่ ถ้าต้องการเลือก บุคคล มา 4 คน โดย มิใช่เป็น สามีภรรยา กันเลย ถามว่า มีกี่วิธี ครับ

ผมว่าน่าจะตอบ $\binom{5}{4}.\binom{2}{1}.\binom{2}{1}.\binom{2}{1}.\binom{2}{1} $ = 80 วิธี

แนวคิด สมมุติให้คนทั้งหมดคือ $\binom{ช1}{ญ1}.\binom{ช2}{ญ2}.\binom{ช3}{ญ3}.\binom{ช4}{ญ4}.\binom{ช5}{ญ5}$

และเงื่อนไขคือ บุคคลที่เลือกมาทั้ง 4 คน ไม่ใช่เป็น สามีภรรยากันเลย - -> แสดงว่า ทั้ง 4 คน ต้องมาจาก 4 คู่

ขั้นที่ 1 เลือกบุคคลมาก่อน 4 คู่ จาก 5คู่ = $\binom{5}{4}$ = 5 วิธี
เช่นเลือก $\binom{ช1}{ญ1}.\binom{ช2}{ญ2}.\binom{ช4}{ญ4}.\binom{ช5}{ญ5}$

ขั้นที่ 2 แต่ละคู่ เลือกบุคคลมา 1 คน แล้วจะได้คน 4 คน ที่ไม่เป็น สามีภรรยากันเลย = $\binom{2}{1}.\binom{2}{1}.\binom{2}{1}.\binom{2}{1}$ = 16 วิธี

หมายเหตุ คุณ หยินหยาง ลืมหักกรณีที่ 4คน มีคู่สามีภรรยา 1 คู่ ออกครับ

[cadetnakhonnayok.com]

อีกวิธีไม่แน่ใจ 10*8*6*4/4*3*2*1 = 80

[cadetnakhonnayok.com]

อีกวิธ๊
1 ไม่มีเงื่อนไข 10 c 4 = 210
2 2คู่ 5 c 2 = 10
3 1คู่ 5 c 1 = 5 คูณด้วย 8*6/2*1= 5*8*6/ 2*1= 120
4 ศูนย์ คู่ 210-10-120= 80

[MR.Quest]

ขอบคุณมากครับผมก็เพิ่งสอบมา

[เด็กหัดทำโจทย์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.K

ถามว่า ... มีสามีภรรยา 5 คู่ ถ้าต้องการเลือก บุคคล มา 4 คน โดย มิใช่เป็น สามีภรรยา กันเลย ถามว่า มีกี่วิธี ครับ

10 วิที

ลองเทียบลำดับฟีโบนักชีดูสิครับ