|
|
#1
06 มิถุนายน 2001, 20:23
|
|||
|
|||
เอาการบ้านมาฝาก
การบ้านวันนี้เป็นการพิสูจน์เกี่ยวกับทฤษฎี ๆ หนึ่งของสมการอนุพันธ์ คือว่าอาจารย์เขาให้พิสูจน์ทฤษฎีของสมการแม่นตรง(Exact Differential Equation) คือให้พิสูจน์ว่า (ของยกตัว ทบ. เลยนะ)
ทบ.  ถ้าสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y)dx + N (x,y)dy = 0 เป็นสมการแบบแม่นตรงแล้ว จะมีคำตอบทั่วไปคือ F(x,y) = c เมื่อ c เป็นค่าคงตัว โดยที่อนุพันธ์ย่อยของ F(x,y) เมื่อเทียบกับ x มีค่าเท่ากับ M(x,y) และ อนุพันธ์ย่อยของ F(x,y) เมื่อเทียบกับ y มีค่าเท่ากับ N(x,y) ที่ให้พิสูจน์ก็คือ ให้พิสูจน์ว่า อนุพันธ์ย่อยของทั้ง 2 อันมีค่าเท่ากัน ซึ่งอันนี้ผมก็ลองเปิดตำราหลาย ๆ เล่มดูแล้ว ก็ไม่ค่อยจะมีทฤษฎีนี้ หรือถ้ามีก็อ่านไม่รู้เรื่อง  แต่เท่าที่อ่านมาพอจับจุดได้ว่า ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์รวม หมายเหตุ ด่วนมาก อย่างน้อยก็ต้องให้รู้เรื่องก่อนวันจันทร์หน้านะจ๊ะ Thank you หลาย.....  
|
|
#2
07 มิถุนายน 2001, 00:19
|
|||
|
|||
ผมคิดว่าหนังสือทุกเล่มน่าจะมีทฤษฎีบทอันนี้นะครับ เพราะมันเป็นตัว check เลยว่าใช้วิธี exact แก้ diff equa ได้รึเปล่า
ผมรู้สึกว่าหนังสือเรียน Calculus I ที่นิสิตปี 1 ที่จุฬาเรียน นี่มีแน่ ๆ แล้วก็ไม่ยากด้วย ผมยังไม่ได้ลองพิสูจน์เลยครับ
|
|
#3
08 มิถุนายน 2001, 08:56
|
||||
|
||||
ลองพิจารณา F(x,y) = c ดูสิ จะได้ว่า
d(F(x,y)) = d(c) [@(F(x,y))/@x] dx + [@(F(x,y))/@y] dy = 0 (@ ในที่นี้หมายถึงอนุพันธ์ย่อย) จับมาเทียบกับสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 จะได้ว่า M(x,y) = @(F(x,y))/@x และ N(x,y) = @(F(x,y))/@y ดังนั้น @M(x,y)/@y = @@(F(x,y))/@x@y และ @N(x,y)/@x = @@(F(x,y))/@x@y นั่นคือ @M(x,y)/@y = @N(x,y)/@x = @@(F(x,y))/@x@y ดังนั้นหากสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ใดๆ มีค่า @M(x,y)/@y = @N(x,y)/@x (เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็น) เราจะเรียกว่าเป็นสมการแบบแม่นตรง และจะมีผลเฉลยของสมการนี้จะอยู่ในรูป F(x,y) = c นั่นเอง
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
  |
|
|
