เถียงกันไม่เลิก : Monty Hall Problem

TimeTimeFruit · #1 14 สิงหาคม 2010, 21:20

วันหนึ่งผมเอาโจทย์เรื่อง Monty Hall Problem ไปถามเพื่อนๆในห้อง

"พิธีกร มีประตูอยู่ 3 บาน หนึ่งใน 3 บานนั้นมีแพะอยู่ 1 ตัว (เราต้องเปิดให้เจอแพะ) เรามีโอกาสเลือกประตูได้ก่อน 1 บาน ที่เหลืออีก 2 บาน พิธีกรจะเลือกเปิดประตูที่ไม่มีแพะออก 1 ประตู เหลืออีก 1 ประตูที่เหลือ พิธีกรให้เราเลือก ระหว่างยังคงเลือกประตูเดิมตั้งแต่ครั้งแรก หรือเปลี่ยนเป็นประตูที่ยังไม่ได้เปิดอีกบาน ถามว่า เราควรจะเปลี่ยนประตูหรือไม่ เพราะเหตุใด"

พอผมลองเปรียบเทียบเรื่องความน่าจะเป็นในการเลือกระหว่างประตูบานที่เลือกแล้วกับที่ยังไม่เลือก และลองเปรียบเทียบเรื่องการจับใบดำใบแดงของทหาร ว่า

"ชายคนหนึ่ง ต้องจับใบดำให้ได้ โดยที่มีสลาก 1000 ใบ มีใบแดง 999 ใบ ใบดำ 1 ใบ ชายคนนี้หยิบสลากมา 1 ใบ ผู้คุมลองหยั่งเชิงโดยการหยิบใบแดงออกจากสลากที่เหลือ 998 ใบ แล้วให้ชายคนนี้ตัดสินใจเลือกว่า จะยังคงเลือกใบเดิมหรือเปลี่ยนเป็นใบที่เหลือ"

มันเป็นชัดๆอยุ่แล้วว่า ถ้าเราไม่เปลี่ยน โอกาสจะเท่าเดิมคือ 1 ใน 1000 เพราะถือว่าการหยิบใบแดงออกนั้นไม่มีผลเลย แต่ถ้าเปลี่ยนใบ โอกาสจะเป็น 999 ใน 1000 นะ (คิดเหมือนกับว่า ผู้คุมลองเปิดให้เราไปแล้ว 998 ใบ พบว่าไม่ใช่ใบดำ ถือว่าเราได้ลองแล้ว) แต่เพื่อนผมก็ยังคงยืนกรานว่า 1 ใน 2 เหมือนเดิม คือเปลี่ยนหรือไม่ ค่าก็เท่่ากัน

ผมว่าปัญหานี้เข้าใจไม่ยากเท่าไหร่ แต่จากเพื่อนผม 10 คน มีคนไม่เข้าใจถึง 6 คน ผมก็ยังงงกับตัวเลขนี้อยุ่ ผมไม่ได้ว่าเพื่อนๆไม่เก่งเลข เพราะขนาดนักคณิตศาสตร์ที่เก่งโคตรๆก็ยังงงได้ แต่ผมไม่เข้าใจว่า ตกลงมันยากขนาดนั้นเลยเหรอ โจทย์ข้ออื่นๆยากกว่านี้ ยังทำกันได้เลย

พี่ๆมีความเห็นว่าไงครับ ทุกวันนี้ เพื่อนผมก็ยังคิดว่าเป็น 1 ใน 2 อยู่เลย

nooonuii · #2 14 สิงหาคม 2010, 22:41

จะแก้ปัญหานี้ด้วยหลักการทางคณิตศาสตร์ หรือ จะแก้ปัญหานี้ด้วยสามัญสำนึก

ผมว่ามีคนไม่น้อยใช้อย่างหลังในการแก้ปัญหา

poper · #3 14 สิงหาคม 2010, 23:03

คณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหาทุกอย่างได้ครับ
อยู่ที่การตัดสินใจเลือกมากกว่า บางครั้งสิ่งที่ไม่ตรงกับสามัญสำนึกก็เป็นจริง แต่บางครั้งก็ต้องเชื่อในสามัญสำนึกครับ
ถ้าเป็นคุณในสถานการณ์ใบดำใบแดงคุณจะยังคิดเรื่องความน่าจะเป็นมั้ยล่ะครับ

หยินหยาง · #4 14 สิงหาคม 2010, 23:32

ไปเถียงกันทำไม อยากได้ความคิดเห็น ลองดูกระทู้นี้ ตอนนี้ไม่รู้เขาเลิกเถียงกันหรือยัง

http://www.mathcenter.net/forum/show...y+Hall+Problem

nooonuii · #5 14 สิงหาคม 2010, 23:40

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

คณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหาทุกอย่างได้ครับ
อยู่ที่การตัดสินใจเลือกมากกว่า บางครั้งสิ่งที่ไม่ตรงกับสามัญสำนึกก็เป็นจริง แต่บางครั้งก็ต้องเชื่อในสามัญสำนึกครับ
ถ้าเป็นคุณในสถานการณ์ใบดำใบแดงคุณจะยังคิดเรื่องความน่าจะเป็นมั้ยล่ะครับ

เห็นด้วยครับ นี่คือเหตุผลส่วนหนึ่งที่ปัญหานี้มีการถกเถียงกันไม่รู้จักจบสิ้น

สรุปว่าจะยึดหลักคณิตศาสตร์ หรือ จะใช้สามัญสำนึกดี ?

poper · #6 14 สิงหาคม 2010, 23:59

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไปเถียงกันทำไม อยากได้ความคิดเห็น ลองดูกระทู้นี้ ตอนนี้ไม่รู้เขาเลิกเถียงกันหรือยัง

http://www.mathcenter.net/forum/show...y+Hall+Problem

ขอบคุณครับ

poper · #7 15 สิงหาคม 2010, 00:02

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เห็นด้วยครับ นี่คือเหตุผลส่วนหนึ่งที่ปัญหานี้มีการถกเถียงกันไม่รู้จักจบสิ้น

สรุปว่าจะยึดหลักคณิตศาสตร์ หรือ จะใช้สามัญสำนึกดี ?

ถ้าทำข้อสอบก็ยึดหลักคณิตศาสตร์ครับ
ถ้าสถานการณ์จริงก็ตัดสินใจเองครับว่าจะเชื่อหลักการหรือดวง

It'S ME · #8 06 กันยายน 2010, 04:06

ผมมองง่ายๆของผมแบบนี้นะคับ
มีประตูอยู่ 3 บาน สมมุติว่าเป็นประตู a b c แต่ละประตูมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ 1/3
สมมุติว่าเราเลือกประตู a ในครั้งแรก แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของ a คือ 1/3
เพราะงั้นความน่าจะเป็นของ b และ c รวมกันคือ 2/3
แต่พอพิธีกรเปิดประตู b กลายเป็นว่า ความน่าจะเป็นของ b กลายเป็น 0
ความน่าจะเป็นของ c ในตอนนี้จึงกลายเป็น 2/3 (ดูจากความน่าจะเป็นรวมของ b และ c)
จังหวะนี้พอพิธีกรถามว่าจะเปลี่ยนจาก a เป็น c หรือไม่
มันก็ขึ้นอยู่กับว่า เราจะเลือกประตู a (ความน่าจะเป็น 1/3) หรือประตู c (ความน่าจะเป็น 2/3) ก็เท่านั้นเองครับ

t.B. · #9 06 กันยายน 2010, 13:41

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ It'S ME

ผมมองง่ายๆของผมแบบนี้นะคับ
มีประตูอยู่ 3 บาน สมมุติว่าเป็นประตู a b c แต่ละประตูมีความน่าจะเป็นเท่ากันคือ 1/3
สมมุติว่าเราเลือกประตู a ในครั้งแรก แน่นอนว่าความน่าจะเป็นของ a คือ 1/3
เพราะงั้นความน่าจะเป็นของ b และ c รวมกันคือ 2/3
แต่พอพิธีกรเปิดประตู b กลายเป็นว่า ความน่าจะเป็นของ b กลายเป็น 0
ความน่าจะเป็นของ c ในตอนนี้จึงกลายเป็น 2/3 (ดูจากความน่าจะเป็นรวมของ b และ c)
จังหวะนี้พอพิธีกรถามว่าจะเปลี่ยนจาก a เป็น c หรือไม่
มันก็ขึ้นอยู่กับว่า เราจะเลือกประตู a (ความน่าจะเป็น 1/3) หรือประตู c (ความน่าจะเป็น 2/3) ก็เท่านั้นเองครับ

ผมสงสัยว่า ทำไม ความน่าจะเป็น 1/3 ของกล่อง b ถึงถูกโอนไปให้ c หมดละครับ ถ้าแฟร์ๆ มันต้องโอนให้ a,c อย่างละครึ่งสิครับ

และสุดท้ายจะได้ว่า a,c มีความน่าจะเป็นเท่ากัน =1/3+[ที่มาจากb/2]=1/3+[1/3*1/2]=1/2

It'S ME · #10 06 กันยายน 2010, 21:06

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ผมสงสัยว่า ทำไม ความน่าจะเป็น 1/3 ของกล่อง b ถึงถูกโอนไปให้ c หมดละครับ ถ้าแฟร์ๆ มันต้องโอนให้ a,c อย่างละครึ่งสิครับ

และสุดท้ายจะได้ว่า a,c มีความน่าจะเป็นเท่ากัน =1/3+[ที่มาจากb/2]=1/3+[1/3*1/2]=1/2

ที่คุณ t.B. สงสัยมานั้น ผมขออธิบายอีกครั้งก่อน เพื่อให้ดูง่ายขึ้นนะครับ

ก่อนอื่นเลยเราทราบว่า p(a)+p(b+c) = 1 (ตรงนี้แน่นอน)

พอเราเลือก บาน a (1 บานจากทั้งหมด 3 บาน) ดังนั้น p(a) = 1/3

เพราะงั้นเราจะได้ว่า p(b) + p(c) = p(b+c) = 1 - p(a) = 1 - 1/3 = 2/3

ทีนี้ เพราะพิธีกรเปิดประตู b ทำให้ p(b) กลายเป็น 0 เราก็เลยได้ p(c) = 2/3 - p(b) = 2/3 - 0 = 2/3

เพราะงั้น ตามที่คุณ t.B. สงสัยว่า ทำไม p(b) ไม่ถูกโอนให้ p(a) ด้วยนั้น

เป็นเพราะ 2/3 นั้น...เป็นความน่าจะเป็นของประตู b กับ c รวมกันไงครับ

(พูดง่ายๆ คือเจ้าความน่าจะเป็น 2/3 นั้น a ไม่มีส่วนเอี่ยวด้วย)

พอ p(b) = 0 ปุ๊บ ที่เหลือก็เลยต้องยกให้ c หมด ...ผมขออธิบายคร่าวๆ ประมาณนี้นะครับ ^^

o:B · #11 06 กันยายน 2010, 21:12

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ It'S ME

ที่คุณ t.B. สงสัยมานั้น ผมขออธิบายอีกครั้งก่อน เพื่อให้ดูง่ายขึ้นนะครับ
ก่อนอื่นเลยเราทราบว่า p(a)+p(b+c) = 1 (ตรงนี้แน่นอน)
พอเราเลือก บาน a (1 บานจากทั้งหมด 3 บาน) ดังนั้น p(a) = 1/3
เพราะงั้นเราจะได้ว่า p(b) + p(c) = p(b+c) = 1 - p(a) = 1 - 1/3 = 2/3
ทีนี้ เพราะพิธีกรเปิดประตู b ทำให้ p(b) กลายเป็น 0 เราก็เลยได้ p(c) = 2/3 - p(b) = 2/3 - 0 = 2/3
เพราะงั้น ตามที่คุณ t.B. สงสัยว่า ทำไม p(b) ไม่ถูกโอนให้ p(a) ด้วยนั้น
เป็นเพราะ 2/3 นั้น...เป็นความน่าจะเป็นของประตู b กับ c รวมกันไงครับ
พอ p(b) = 0 ปุ๊บ ที่เหลือก็เลยต้องยกให้ c หมด ...ผมขออธิบายคร่าวๆ ประมาณนี้นะครับ

แต่ถ้าลองคิดว่ามี2บานอยู่แล้วละครับ

It'S ME · #12 06 กันยายน 2010, 21:34

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ o:B

แต่ถ้าลองคิดว่ามี2บานอยู่แล้วละครับ

ผมไม่เข้าใจคำถามครับ

t.B. · #13 07 กันยายน 2010, 03:04

ประเด็นที่น่าสนใจ คือที่ทำไม p(a) ถึงโดน fixed ไว้ว่าเป็น 1/3 ละครับ หรือเพียงแค่เพราะว่า เรา"เลือก" ความน่าจะเป็นคงมันเลยต้องคงที่?(ส่วนอันที่ไม่เลือกก็เลยกลายเป็นเปลี่ยนได้ไป?)

กล่าวคือ สามารถเอาความน่าจะเป็นจาก b ไปบวกกับ c ได้ แต่กลับไม่เลือกมาบวกให้ a เพียงเพราะ เหตุผลแค่ว่า a ถูก fixed ไว้ว่าเป็น 1/3

ซึ่งมีเหตุผลอะไรถึงต้อง fix ไว้ fixไว้เพราะมันต้องเป็นอย่างนั้น(เป็นสัจพจน์ เช่นคนเกิดมาแล้วต้องตาย) หรือ fixไว้เพราะ"ใจ"เราไปนึกเองว่ามันต้อง fixed (ใช้ความคิดเห็นส่วนตัว)

เพียงแค่ การที่เราเลือก กับไม่เลือก สามารถกำหนดได้คุณสมบัติของสิ่งนั้นๆได้เลยหรอครับ ว่าจะให้ออกมาเป็นยังไง คิดว่ามันเป็นกาสรุปที่สมเหตุสมผลเพียงพอแล้วหรือยัง...?

ฟังดูแล้วอาจจะงงๆนะครับ ขออธิบายให้เห็นภาพหน่อย

ประเด็นคือ การที่อารมณ์ความคิดคนเราเลือกหรือไม่เลือกสิ่งใด คิดว่าจะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลง quality ของสิ่งที่สนใจด้วยรึเปล่า?

สมมติผมวางแก้ว อยู่ 2 ใบ ใส่น้ำเหมือนกัน ลักษณะเหมือนกันทั้งสองใบ กับใบนึง ในใจผมนึกชอบใบนี้

กลายเป็นว่าพอผมชอบแล้ว แก้วนั้นจะมีอะไรบางอย่างที่เหนือกว่าอีกแก้วงั้นหรือ? หรืออยู่ดีๆก็เกิดมีอะไรวิเศษกว่าอีกใบ? หรือได้รับสิทธิประโยชน์ในการโอนความน่าจะเป็นให้อย่างเต็มที่? ฯลฯ

ปล.อีกประเด็นที่น่าสนใจคือ sample space ควรจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยน และเพราะอะไรถึง เลือกให้เปลี่ยน/ไม่เปลี่ยน ...

It'S ME · #14 07 กันยายน 2010, 08:00

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ประเด็นที่น่าสนใจ คือที่ทำไม p(a) ถึงโดน fixed ไว้ว่าเป็น 1/3 ละครับ หรือเพียงแค่เพราะว่า เรา"เลือก" ความน่าจะเป็นคงมันเลยต้องคงที่?(ส่วนอันที่ไม่เลือกก็เลยกลายเป็นเปลี่ยนได้ไป?)

กล่าวคือ สามารถเอาความน่าจะเป็นจาก b ไปบวกกับ c ได้ แต่กลับไม่เลือกมาบวกให้ a เพียงเพราะ เหตุผลแค่ว่า a ถูก fixed ไว้ว่าเป็น 1/3

ซึ่งมีเหตุผลอะไรถึงต้อง fix ไว้ fixไว้เพราะมันต้องเป็นอย่างนั้น(เป็นสัจพจน์ เช่นคนเกิดมาแล้วต้องตาย) หรือ fixไว้เพราะ"ใจ"เราไปนึกเองว่ามันต้อง fixed (ใช้ความคิดเห็นส่วนตัว)

เพียงแค่ การที่เราเลือก กับไม่เลือก สามารถกำหนดได้คุณสมบัติของสิ่งนั้นๆได้เลยหรอครับ ว่าจะให้ออกมาเป็นยังไง คิดว่ามันเป็นกาสรุปที่สมเหตุสมผลเพียงพอแล้วหรือยัง...?

ฟังดูแล้วอาจจะงงๆนะครับ ขออธิบายให้เห็นภาพหน่อย

ประเด็นคือ การที่อารมณ์ความคิดคนเราเลือกหรือไม่เลือกสิ่งใด คิดว่าจะส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลง quality ของสิ่งที่สนใจด้วยรึเปล่า?

สมมติผมวางแก้ว อยู่ 2 ใบ ใส่น้ำเหมือนกัน ลักษณะเหมือนกันทั้งสองใบ กับใบนึง ในใจผมนึกชอบใบนี้

กลายเป็นว่าพอผมชอบแล้ว แก้วนั้นจะมีอะไรบางอย่างที่เหนือกว่าอีกแก้วงั้นหรือ? หรืออยู่ดีๆก็เกิดมีอะไรวิเศษกว่าอีกใบ? หรือได้รับสิทธิประโยชน์ในการโอนความน่าจะเป็นให้อย่างเต็มที่? ฯลฯ

ปล.อีกประเด็นที่น่าสนใจคือ sample space ควรจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยน และเพราะอะไรถึง เลือกให้เปลี่ยน/ไม่เปลี่ยน ...

เรื่องที่เราคุยกันอยู่นี้ สิ่งที่คงที่จริงๆ มีเพียงแค่ p(a) กับ p(อื่น) ครับ ไม่ใช่ว่าใจผมนึกไปเอง แต่เป็นเพราะผมมองว่า sample space ไม่เปลี่ยนแปลง (ลองติดตามต่อนะครับ ว่าทำไม?)

ผมสุ่มเลือก a ไปมั่วๆ ในครั้งแรกโดยไม่ได้คิดอะไร ตอนที่มีประตู 3 บาน และ a ก็เป็นแค่ 1 ใน 3 บานนั้น

แล้วผมก็สนใจว่าไอ้สิ่งที่ผมเลือกนี้ มันมีความเป็นไปได้แค่ไหนกัน?

ผมก็รู้โดยทันที โดยหลักความน่าจะเป็นธรรมดาๆว่า ยังไงๆ โอกาสที่ผมจะถูกก็แค่ 1 ใน 3 (แต่โอกาสผิดถึง 2 ใน 3)
ด้วยเหตุผลที่ว่า p(a)+p(อื่น) = 1 ผมได้ว่า p(a) = 1/3 และแน่ใจได้ว่า p(อื่น) = p(b)+p(c) = 2/3

ถึงแม้ว่าตอนนี้ ผมจะยังไม่รู้ว่า p(b) หรือ p(c) นี่ แต่ละตัวเท่าไหร่? ผมก็ไม่จำเป็นต้องกังวล ผมรู้ว่าสักพักพิธีกรต้องบอกใบ้ให้ผม เพราะ... เขาจะต้องเลือกเปิดไม่ประตู b ก็ประตู c ให้ผมดู

สมมุติว่าพิธีกรเปิดประตูบาน b (ไม่ได้แปลว่า sample space เปลี่ยนแปลงนะครับ) เท่ากับเป็นการบอกใบ้ว่า ประตูบาน b น่ะมันผิด หรือ p(b) = 0/3 นั่นเอง คือมันไม่มีโอกาสเป็นไปได้เลยที่ประตู b จะถูก

ทีนี้ล่ะ ผมถึงได้รู้ว่า p(b) น่ะ 0/3 ผมก็เลยได้ว่า p(อื่น) = 0 + p(c) = 2/3

เหตุผลที่ผมไม่สามารถที่จะเอาความน่าจะเป็นของ b ไปเพิ่มให้ a ได้ ไม่ใช่เพราะผมชอบ c มากกว่า a หรอกนะครับ

เพียงแต่ว่าเราเลือกพิจารณา p(a) กับ p(อื่น) และพอดีว่า p(b) มันรวมอยู่ใน p(อื่น) แล้วนั่นเอง

อันที่จริงผมไม่ควรจะพูดตั้งแต่ต้นเลยว่า เอา p(b) ไปเพิ่มให้ p(c) เพราะอันที่จริง p(b) มันเท่ากับ 0 คือมันไม่มีความน่าจะเป็นที่จะไปเพิ่มให้ใครได้ ตั้งแต่ตอนที่พิธีกรเิปิดประตูบานนั้นแล้วล่ะครับ

ครั้งสุดท้ายที่พิธีกรถามว่าจะยืนยันคำตอบ หรือเปลี่ยนเป็นอันที่เหลือ ดูคล้ายๆกับว่า จะให้ผมเลือกระหว่าง a กับ c นะครับ

แต่แท้ที่จริงแล้วไม่ใช่! พิจารณาดูดีๆ แล้วจะเห็นว่า เขาให้ผมเลือกระหว่างบาน a กับ บานอื่นๆต่างหาก แต่มันเป็นโชคดีของผมที่บานอื่นๆ มันเหลือแค่บาน c ไงครับ (ก็เขาบอกผมเองนี่ ว่าประตู b น่ะ มันผิด!)

สุดท้ายผมมองว่า เราไม่ได้ตัดสินใจสองรอบหรอกครับ เราตัดสินใจกันจริงๆ ก็แค่รอบเดียวเท่านั้น

คือรอบสุดท้าย ตรงที่เราต้องเลือกระหว่างยืนยันคำตอบ...ประตู a ความน่าจะเป็น 1/3 หรือเปลี่ยนไปเลือกประตู c ความน่าจะเป็น 2/3 ซึ่งถ้าเป็นผม ผมก็คงต้องเลือกประตู c อยู่แล้ว ! เห็นด้วยมั้ยครับ?

poper · #15 07 กันยายน 2010, 08:32

ถ้าเป็นผมคงนึกถึงสถานการณ์ปัจจุบันมากกว่าครับ
ปัญหานี้น่าจะเกี่ยวเนื่องกับเวลาและเงื่อนไข
นั่นคือ sample space เปลี่ยนแปลงได้เมื่อ เวลาและเงื่อนไขเปลี่ยนไป
ในตอนแรกนั้นให้เลือก 1 บานจาก 3 บาน
แต่ในเวลาต่อมาเงื่อนไขเปลี่ยนคือ ให้เลือก 1 บาน จาก 2 บาน
สิ่งที่ควรจะคิดคือ ณ ปัจจุบันเราจะเลือกอะไร ไม่ต้องไปดูอดีตเนื่องจากเงื่อนไขได้เปลี่ยนไปแล้วครับ
ถ้ามองตั้งแต่เริ่มต้นไม่ว่าเราจะเลือกบานไหนก็ไม่มีผลอะไรเพราะสุดท้ายเราก็ต้องมาตัดสินใจเลือก 1บานจาก 2บาน
ซึ่งมีถูกแค่บานเดียวอยู่ดีครับ

หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ	ผู้ตั้งหัวข้อ	ห้อง	คำตอบ	ข้อความล่าสุด
A problem 6.	Hojoo Lee	อสมการ	2	08 พฤศจิกายน 2008 18:57
A problem 4.	Hojoo Lee	อสมการ	6	07 พฤศจิกายน 2008 21:58
ใครรู้จัก NP-Problem มั่งครับ ช่วยเข้ามาคุยกันหน่อย	fangolf	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	0	05 กุมภาพันธ์ 2007 10:10
LQR Problem	M@gpie	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	0	24 กันยายน 2006 16:50
set problem	brother	ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป	1	11 เมษายน 2005 02:06