Algebra Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

$(\because a^2=2549b \wedge a^2>0,2549>0 \therefore b>0)$

$a,b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนทำไมถึงสรุปว่า $a^2>0$ ได้ครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

กำลังติดลมครับ
50.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่เป็น0 และ$\alpha ,\beta$ เป็นรากของสมการ $x^2+ax+b=0$
ถ้า $a^2=2549b$ จงพิสูจน์ว่า $\mid\alpha+\beta\mid=\mid\alpha\mid+\mid\beta\mid$

ผมพิสูจน์ได้เมื่อ $a,b\in\mathbb{R}$ แต่ถ้า $a,b\in\mathbb{C}$ ไม่รู้ว่าจะพิสูจนยังไง
ที่ผมได้ก็คือ $\alpha \beta=b$ และ $\alpha^2 + \beta^2=2547b$ รบกวนท่านอื่นๆชี้แนะด้วยนะครับ

[Anarist]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

ผมพิสูจน์ได้เมื่อ $a,b\in\mathbb{R}$ แต่ถ้า $a,b\in\mathbb{C}$ ไม่รู้ว่าจะพิสูจนยังไง
ที่ผมได้ก็คือ $\alpha \beta=b$ และ $\alpha^2 + \beta^2=2547b$ รบกวนท่านอื่นๆชี้แนะด้วยนะครับ

ช่วยกันดูนะครับ จาก $\alpha^2 + \beta^2=2547b$ จะได้ว่า $\alpha^2 + \beta^2=2547\alpha \beta$
ย้ายข้าง $\alpha^2 -2547\alpha \beta + \beta^2=0$
แยกตัวประกอบ $(\alpha - z \beta)(\alpha - z^{-1} \beta)=0$ ,where z satisfies $z + 1/z = 2547$.
Since $2547 \geq 2$, we can see that z is real,positive and $\alpha = r \beta$ for r = z or 1/z which is real,positive. Therefore, $|\alpha+\beta| = |r\beta + \beta| = |\beta||r+1|=|\beta|(r+1)=|r \beta| + |\beta| = |\alpha|+|\beta|$
ทำเสร็จแล้วก็เพิ่งเห็นว่าเอา $\beta$ หารสมการทั้งหมดน่าจะทำให้กระทัดกว่านี้นิดนึง

[kanakon]

มาเติมโจทย์ครับ

51. Let $a,b,c$ is nonzero real numbers such that $a+b+c\not=0$ and $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$
Prove that for all odd integers $n$ $$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

มาเติมโจทย์ครับ

51. Let $a,b,c$ is nonzero real numbers such that $a+b+c\not=0$ and $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$
Prove that for all odd integers $n$ $$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$$

First Solution :

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=0$
ดังนั้นมีอย่างน้อยหนึ่งคู่ที่เป็นศูนย์
สมมติโดยไม่เสียนัยทั่วไปว่า $a+b=0$
ที่เหลือเห็นได้ชัด

Second Solution:

ให้ $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
จะได้ $pq=r$ ดังนั้น $a,b,c$ เป็นรากของพหุนาม
$t^3-pt^2+qt-pq=(t-p)(t^2+q)$
ดังนั้น $a+b+c$ เป็นรากหนึ่งของพหุนามนี้
โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติว่า $a=a+b+c$ จะำได้ $b+c=0$
ที่เหลือเห็นได้ชัด

[nooonuii]

เติมโจทย์ึีครับ

52. ให้ $x,y,z$ เ้ป็นจำนวนจริง โดยที่ $xyz=1$ จงหาค่าของ
$$\frac{1+2x+3xy}{1+x+xy}+\frac{1+2y+3yz}{1+y+yz}+\frac{1+2z+3zx}{1+z+zx}$$

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เติมโจทย์ึีครับ

52. ให้ $x,y,z$ เ้ป็นจำนวนจริง โดยที่ $xyz=1$ จงหาค่าของ
$$\frac{1+2x+3xy}{1+x+xy}+\frac{1+2y+3yz}{1+y+yz}+\frac{1+2z+3zx}{1+z+zx}$$

ตอบ 6 ครับ
Normalize เข้าไปทีเดียวจบเลยเพราะโจทย์จะกลายเป็น
$\sum_{cyc}\frac{bc+2ac+3ab}{ab+bc+ca}$ ซึ่งเมื่อบวกกันแล้วมีค่าเท่ากับ 6

[RoSe-JoKer]

เพิ่มโจทย์ครับ
53. (ขอ Solution ที่ประมาณว่าแทน $x=0,1,...,100 (mod101)$ แล้วบอกว่ามัน bijective นะครับ)
พิจารณาพหุนาม
$T(x)=x^3+14x^2-2x+1$
แสดงให้เห็นว่าจะมีจำนวนนับ n ที่ $n>1$ ที่ $T^{(n)}(x)-x$ ถูกหารด้วย 101 ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็ม x โดยที่ $T^{(n)}(x)=T(T(T...T(x)...)))$ มี T n ตัว

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เพิ่มโจทย์ครับ
53. (ขอ Solution ที่ประมาณว่าแทน $x=0,1,...,100 (mod101)$ แล้วบอกว่ามัน bijective นะครับ)
พิจารณาพหุนาม
$P(x)=x^3+14x^2-2x+1$
แสดงให้เห็นว่าจะมีจำนวนนับ n ที่ $n>1$ ที่ $T^{(n)}(x)-x$ ถูกหารด้วย 101 ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็ม x โดยที่ $T^{(n)}(x)=T(T(T...T(x)...)))$ มี T n ตัว

P = T

[RoSe-JoKer]

เออครับ โทษทีครับแก้ไขให้แล้วนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เพิ่มโจทย์ครับ
53. (ขอ Solution ที่ประมาณว่าแทน $x=0,1,...,100 (mod101)$ แล้วบอกว่ามัน bijective นะครับ)
พิจารณาพหุนาม
$T(x)=x^3+14x^2-2x+1$
แสดงให้เห็นว่าจะมีจำนวนนับ n ที่ $n>1$ ที่ $T^{(n)}(x)-x$ ถูกหารด้วย 101 ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็ม x โดยที่ $T^{(n)}(x)=T(T(T...T(x)...)))$ มี T n ตัว

ให้ $g(x) = f(x) \pmod{101}$

หากพิจารณา orbit ของแต่ละจุดที่ส่งโดย $g$ จะได้ดังนี้

$0 \to 1\to 14\to 7\to 6\to 2\to 61\to 93\to 98\to 5\to 62\to 30\to 50\to$

$18\to 31\to 57\to 84\to 77\to 46\to 13\to 94\to 55\to 51\to 92\to $

$20\to 27\to 41\to 60\to 45\to 4\to 79\to 11\to 75\to 21\to 42\to 24\to$

$25\to 86\to 8\to 80\to 87\to 29\to 49\to 70\to 88\to 95\to 99\to 53\to $

$36\to 89\to 10\to 58\to 97\to 68\to 81\to 65\to 43\to 66\to 0$


$3\to 47\to 23\to 35\to 63\to 64\to 100\to 16\to 74\to 72\to 69\to 15\to $

$32\to 76\to 44\to 91\to 17\to 38\to 71\to 3$


$9\to 28\to 48\to 40\to 67\to 78\to 33\to 12\to 85\to 26\to 22\to 9$


$19\to 59\to 82\to 52\to 96\to 34\to 73\to 90\to 83\to 54\to 19$


$37\to 56\to 37$


$39\to 39$

เมื่อ $i\to j$ หมายถึง $g(i)=j$

จากการส่งที่แจกแจงมาทั้งหมดเราจะได้ว่า $g$ เป็น permutation

ให้คาบหมายถึงจำนวนครั้งของการส่งที่เริ่มจากจุดหนึ่งแล้วกลับมาที่จุดเดิม

เช่น $0$ มีคาบเป็น $58$ ดังนั้น $g^{58}(0)=0$ ในทำนองเดียวกัน

$g^{58}(1)=1$ ด้วย (ทำไม?)

ดังนั้นเราจะได้ว่าคาบของแต่ละจุดจะเป็น $58,19,11,10,2,1$

เนื่องจาก $[58,19,11,10,2,1]=60610$

เราจะได้ว่า $g^{60610}(x)=x$ ทุกค่า $x=0,…,100$

ดังนั้น $T^{60610}(x)\equiv x\pmod{101}$ ทุกจำนวนเต็ม $x$

[the WoRLD]

51. Let $a,b,c$ is nonzero real numbers such that $a+b+c\not=0$ and $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$$
Prove that for all odd integers $n$ $$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$$[/quote]

solution:คูณสมการที่ให้มาทั้งสองฝั่งด้วย$abc(a+b+c)$จะได้$$ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)=abc$$ $$3abc+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c=abc$$ $$abc+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c+abc=0$$ $$(a+b)(b+c)(c+a)=0$$ จากสมการที่ได้ symmetric โดยไม่เสียนัยสำคัญให้$a+b=0$ ได้ $a=-b$ จะได้ $a^n=-b^n$ $$\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}$$ $$\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$$ $$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$$

[mathph]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ในเมื่อไม่มีใครตั้ง ผมก็ขอปั่นกระทู้ต่อ

39. จงพิสูจน์ว่าระบบสมการ
$$ \begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} & = & 1 \\ x\, + y\, +\, z & = & 2 \\ x^2+y^2+z^2 & = & 3 \end{array}$$
ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

ขอพิสูจน์แบบคนไม่มีความรู้นะครับ(ช่วยแนะด้วยนะครับ โง่เลขสุดๆ)
จากสมการแรก $xy+yz+zx=xyz$ จากสมการล่างสุดและสมการตรงกลางจะได้ $xyz=\dfrac{1}{2}$
เอาxy+yz+zx กำลังสองจะได้ $\dfrac{1}{4}=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(\dfrac{1}{4})(2)$
แต่กลับได้$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=-0.75<0$ ดังนั้นx,y,z ไม่ใช่จำนวนจริงครับ

[nooonuii]

ไม่ได้เล่นกันนานมากแล้วนะครับเนี่ย งั้นต่อให้ครับ

40. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

$(a+1)(b+1)(c+1)=1$

$(a+2)(b+2)(c+2)=2$

$(a+3)(b+3)(c+3)=3$

จงหาค่าของ $(a+4)(b+4)(c+4)$

[Beatmania]

ลองดูหน่อยแล้วกันครับ

พิจารณาพหุนามโมนิก $P(x)$ ที่มีรากเป็น $-a,-b,-c$ จะได้ว่า $P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)$

จากเงื่อไข เราได้ว่า $P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3$

แสดงว่าพหุนาม $Q(x)=P(x)-x$ มีรากคือ $1,2,3$ ดังนั้น

$P(x)=Q(x)+x=(x-1)(x-2)(x-3)+x$

โจทย์ต้องการ $P(4)$ ซึ่งเท่ากับ $(4-1)(4-2)(4-3)+4=10$

ขอลองปล่อยโจทย์ดูมั่งครับ

41. ถ้า $\alpha(x)$ เป็นพหุนามโดยที่มีคุณสมบัติว่า

ถ้า $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว $\alpha(x)$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

จงแสดงว่า $deg[\alpha]\leq 1$