Algebra Marathon

[warut]

น่าน...โดนของจริงเข้าให้ซะแล้ว จะลองพยายามคิดดูครับ

ส่วนข้อ 20. นี่ผมกลับไป simplify คำตอบต่ออีกนิดหน่อยนะครับ ไม่ทราบว่าผมทำถูกแล้ว หรือว่าคุณ nooonuii ยังไม่ได้ตรวจครับ

[nooonuii]

ข้อ 20 ถูกแล้วล่ะครับ ตอนแรกงงกับคำตอบในกรณีแรกนิดหน่อยเพราะคำตอบของผมเป็นเวอร์ชันหลัง แต่ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
18'. Let $G$ be a group of order $pqr$ where $p,q,r$ are distinct primes. Show that G has a normal Sylow subgroup.

WLOG, let $p>q>r$.

Suppose that $G$ has no normal Sylow subgroup.

So by the third Sylow theorem, the number of Sylow $p$-subgroups is $kp+1$ for some $k\ge1$ with $kp+1\mid pqr$. Since $(p,kp+1)=1$, it follows that $kp+1\mid qr$. Since $kp+1>p>q>r$ and $q,r$ are both prime, we can conclude that $kp+1=qr$.

Also by the third Sylow theorem, the number of Sylow $q$-subgroups and Sylow $r$-subgroups is at least $q+1$ and $r+1$, respectively.

Since all these Sylow subgroups are cyclic groups of prime orders, the intersection between any two of them is trivial. Therefore, $$|G|\ge qr(p-1)+ (q+1)(q-1)+ (r+1)(r-1) +1$$ $$=pqr+q(q-r)+(r^2-1)>pqr,$$ hence a contradiction. So $G$ must have a normal Sylow subgroup.

ป.ล. แล้วข้อ 20. คุณ nooonuii ทำยังไงครับ (อย่าหาว่าเซ้าซี้เลยนะครับ อยากรู้จริงๆ)

[nooonuii]

ข้อ 20 ผมก็ทำคล้ายๆกันครับ แต่ตอนแยกตัวประกอบแต่ละสมการผมจะมองที่ตัวแปร $a,b$ แทน $x,y$ ครับ เพราะทั้งสองสมการเป็นสมการพหุนามกำลังสองในตัวแปร $a,b$ ซึ่งง่ายต่อการแยกตัวประกอบมากกว่า แต่เผอิญโจทย์มันค่อนข้างจะเห็นชัดก็เลยไม่เห็นความแตกต่างระหว่างการแยกตัวประกอบแบบปกติกับวิธีที่ผมใช้ครับ

เสริมข้อ 18' นิดนึงครับ จำนวนของ Sylow $p$-subgroup หาร $qr$ ลงตัวครับ

[nooonuii]

มาเติมโจทย์ให้ครับ

21. Let $G$ be a group of order $p^3$ where $p$ is prime. Show that $G$ has a normal subgroup of order $p$.

22. How many elements of order $7$ must there be in a simple group of order $168$ $?$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เสริมข้อ 18' นิดนึงครับ จำนวนของ Sylow $p$-subgroup หาร $qr$ ลงตัวครับ

อันที่เสริมนี่คือผมไม่ได้บอกไว้ในพิสูจน์ให้ชัดเจนใช่เปล่าครับ ยังไม่ get น่ะครับ

[nooonuii]

ที่ผมอยากบอกคือ $n_p$ | $m$ เมื่อ $|G|=p^km,\ (p,m)=1$ ครับ จะทำให้เราหาค่า $n_p$ ได้ง่ายขึ้น

[warut]

อ๋อ...เข้าใจแล้ว ขอบคุณมากครับ ถ้างั้นผมส่งการบ้านต่อเลยนะครับ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
21. Let $G$ be a group of order $p^3$ where $p$ is prime. Show that $G$ has a normal subgroup of order $p$.

Using Lagrange's theorem and the fact that a group with prime-power order has non-trivial center, we know that the only possible values of $|Z(G)|$ are $p,p^2,p^3$.

If $|Z(G)|=p$, then $Z(G)$ is a normal subgroup of order $p$ of $G$.

If $|Z(G)|=p^2$, then $|G/Z(G)|=p$, and hence $G/Z(G)$ is cyclic. Using the fact that if $G/Z(G)$ is cyclic, then $G$ is abelian and $G=Z(G)$, we arrive at a contradiction since $G\ne Z(G)$. So this case is impossible, i.e., $|Z(G)|$ cannot be equal to $p^2$.

If $|Z(G)|=p^3$, then $G=Z(G)$, and hence $G$ is abelian. By Cauchy's theorem, $G$ must have a subgroup of order $p$. Therefore this subgroup of $G$ is a normal subgroup of order $p$.

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
22. How many elements of order $7$ must there be in a simple group of order $168$ $?$

By the third Sylow theorem, the possible number of Sylow 7-subgroups of a group of order 168 is 1 or 8. If that group is simple, it must have 8 Sylow 7-subgroups. So a simple group of order 168 has 8 subgroups of order 7. Since the intersection between any two of these order-7 subgroups is trivial, we can conclude that the number of elements of order 7 in a simple group of order 168 is $8\times(7-1)=48$.

[nooonuii]

ถูกทั้งสองข้อครับ วิธีคิดเหมือนกัน รอบนี้ส่งการบ้านเร็วจังเลยครับ ตรวจแทบไม่ทัน

23. Show that every abelian simple group is finite and has prime order.

24. Let $G$ be a finite abelian group and assume that there is a nontrivial subgroup $H$ such that $H\leq K$ for all nontrivial subgroup $K$ of $G$. Show that $G$ is a cyclic $p$-group.

25. (Hard, UC Berkeley) Let $G$ be a finite group with identity $e$. Suppose for every $a,b\in G$ distinct from $e$, there is an automorphism $\sigma$ of $G$ such that $\sigma(a)=b$. Prove that $G$ is an abelian $p$-group.

ชุดนี้เป็นโจทย์ Group Theory (อย่างยาก) ชุดสุดท้ายที่ผมจดไว้แล้วล่ะครับ ที่เหลือเป็น Ring, Field, Module,Linear Algebra, Representation Theory คุณ Warut อยากเล่น field ไหนเชิญ request มาได้เลยครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
23. Show that every abelian simple group is finite and has prime order.

Note that every subgroup of an abelian group is normal. So an abelian simple group cannot have a proper subgroup.

Let $G$ be an infinite abelian simple group and $a$ be a non-identity element of $G$. It follows that $\langle a\rangle=G$; otherwise, $\langle a\rangle$ would be a proper subgroup of $G$. Since $\langle a\rangle$ is an infinite group, its members: $a^0, a, a^{-1}, a^2, a^{-2}, \dots$ are all distinct. So $\langle a^2\rangle$ is a proper subgroup of $\langle a\rangle=G$, a contradiction. Therefore, any abelian simple group must be finite.

Suppose that $G$ is a finite abelian simple group with composite order $n$. So there exists a prime $p<n$ such that $p\mid n$. By Cauchy's theorem, $G$ must have a proper subgroup of order $p$, hence a contradiction. So every abelian simple group is finite and has prime order.

ตอนแรกคิดว่าจะทำข้อ 24. ด้วยเลย แต่ไม่เอาละเพราะ เตียบ่อกี้ กำลังจะมา ใครสนใจจะทำเชิญได้นะครับ โจทย์นี้ไม่ได้มีไว้สำหรับผมคนเดียว

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
24. Let $G$ be a finite abelian group and assume that there is a nontrivial subgroup $H$ such that $H\leq K$ for all nontrivial subgroup $K$ of $G$. Show that $G$ is a cyclic $p$-group.

Note that such non-trivial subgroup $H$ cannot have a proper subgroup. So, by Cauchy's theorem, $H$ must be a subgroup of prime order. Since the intersection of two distinct subgroups of prime orders is trivial and since we need that $H\leq K$ for all nontrivial subgroup $K$ of $G$, we can conclude that $H$ is the only subgroup of prime order of $G$.

If $G$ is a non-trivial finite abelian group that is not a cyclic $p$-group, then by the fundamental theorem of finite abelian groups, it is isomorphic to the direct sum of some two or more non-trivial cyclic groups. By Cauchy's theorem, each of these cyclic groups must have a subgroup of prime order. So $G$ has at least 2 distinct proper subgroups of prime orders, and hence cannot satisfy the required condition. Therefore, $G$ must be a cyclic $p$-group.

ถ้าผมให้เหตุผลไม่ดีช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ รู้สึกว่ามันอธิบายยากจริงๆ

[nooonuii]

เข้าใจแล้วครับ ไม่มีจุดผิด ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
25. (Hard, UC Berkeley) Let $G$ be a finite group with identity $e$. Suppose for every $a,b\in G$ distinct from $e$, there is an automorphism $\sigma$ of $G$ such that $\sigma(a)=b$. Prove that $G$ is an abelian $p$-group.

Let $p$ be the smallest prime factor of $|G|$. By Cauchy's theorem, there exists $a\in G$ such that $|a|=p$. Let $b$ be a non-identity element of $G$. So there is an automorphism $\sigma$ such that $\sigma(a)=b$. Thus, we have $$b^p = (\sigma(a))^p = \sigma(a^p) = \sigma(e)=e.$$ So $|b|=p$. This means that all non-identity elements of $G$ have the same order. Therefore, by Cauchy's theorem, $p$ is the only prime factor of $|G|$. So $G$ is a $p$-group and hence has non-trivial center $Z(G)$. Let $a$ be a non-identity element in $Z(G)$ and $\sigma$ be an automorphism of $G$. So for all $x\in G$, $ax=xa$, and hence $\sigma(a)\sigma(x) = \sigma(x)\sigma(a)$. Since $\{\sigma(x)\mid x\in G\}=G$, it follows that $\sigma(a)\in Z(G)$. From the hypothesis, we have $$\{\sigma(a)\mid\sigma\in Aut(G)\}= G\setminus\{e\},$$ where $Aut(G)$ is the automorphism group of $G$. It follows that $Z(G)=G$, and hence $G$ is abelian.

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ชุดนี้เป็นโจทย์ Group Theory (อย่างยาก) ชุดสุดท้ายที่ผมจดไว้แล้วล่ะครับ ที่เหลือเป็น Ring, Field, Module,Linear Algebra, Representation Theory คุณ Warut อยากเล่น field ไหนเชิญ request มาได้เลยครับ

คงต้องขอพักไว้ก่อนครับ เอาไว้ผมอยากเล่นเมื่อไหร่ค่อยขอดีกว่า ไม่อยากให้โจทย์มาค้างเติ่งอยู่ จริงๆไม่จำเป็นต้องเป็นโจทย์อย่างยากก็ได้นะครับ เพราะแค่โจทย์ธรรมดานี่ผมก็ยังมีปัญหาอยู่มาก โจทย์แต่ละข้อที่คุณ nooonuii ให้มานี่ผมไม่มีทางทำได้ให้ห้องสอบเลยครับ ยากสุดๆ ถ้าอีก 10 ปีข้างหน้าผมทำได้เท่าคุณ nooonuii ตอนนี้ก็ดีใจเป็นที่สุดแล้ว ยังไงถ้าคุณ nooonuii เห็นที่ผิด หรือจุดที่ควรปรับปรุง ช่วยบอกโดยไม่ต้องลังเลเลยนะครับ ขอบคุณอีกครั้งครับสำหรับโจทย์ดีๆ และข้อแนะนำทั้งหมด

[nooonuii]

ถูกแล้วล่ะครับ ใช้เงื่อนไขโจทย์ได้กระชับดีครับ
ตรงส่วนหลังผมใช้วิธีพิสูจน์ตรงๆซึ่งก็ไม่ยากครับ

ให้ $a\in Z(G)-\{e\}$ และ $x,y\in G-\{e\}$ จะได้ว่า
มี $\sigma\in Aut(G)$ ซึ่งทำให้ $\sigma(x)=a$
ดังนั้น $\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)=a\sigma(y)=\sigma(y)a=\sigma(y)\sigma(x)=\sigma(yx)$
เพราะฉะนั้น $xy=yx$

[warut]

จริงด้วย พิสูจน์ตรงๆก็ได้นี่นา แถมสั้นและง่ายกว่าด้วย แต่ผมคิดไม่ถึงน่ะครับ