โจทย์จากFBคณิตม.ปลาย เรื่อง ความน่าจะเป็น & เซต & ทฤษฎีจำนวน

[RyanGiggs]

น้องมันแกวจัดงานmeetingแฟนคลับ500คน ให้แฟนคลับแต่ละคนสุ่มจับสลากหมายเลขคนละใบ จากกล่องมีหมายเลข500ถึง1000 (500,501,502,...,1000)หมายเลขละใบ โดยน้องมันแกวมีรางวัลให้แฟนคลับ2อย่างคือ
1) ถ่ายรูปคู่ สำหรับหมายเลขที่หารด้วย4ลงตัว แต่ต้องหารด้วย5ไม่ลงตัว
2) หอมแก้ม สำหรับหมายเลขที่หารด้วย7ลงตัว แต่ต้องหารด้วย3ไม่ลงตัว
ความน่าจะเป็นที่แฟนคลับแต่ละคนจะได้รางวัลเท่ากับเท่าใด

[tngngoapm]

$\frac{46}{167} $.......ไม่แน่ใจนะครับ

[RyanGiggs]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

$\frac{46}{167} $.......ไม่แน่ใจนะครับ

คิดยังไงเหรอครับ

[tngngoapm]

ไม่รู้ถูกไหม......มันยาวมากเลย
ให้เซต $A=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,4\mid x\left.\,\right\} $
$B=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,5\mid x\left.\,\right\} $
$C=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,7\mid x\left.\,\right\} $
$D=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,3\mid x\left.\,\right\} $
$U=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000\left.\,\right\} $
$A-B=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,(4\mid x)\cap (5\nmid x) \left.\,\right\} $
$C-D=\left\{\,\right. x|500\leqslant x\leqslant 1000,(7\mid x)\cap (3\nmid x) \left.\,\right\} $
สิ่งที่โจทย์ถามคือค่าของ....$P[(A-B)\cup (C-D)]=\frac{n[(A-B)\cup (C-D)]}{n(U)} $
ใช้ความรู้เรื่องเซตหาค่า........$n[(A-B)\cup (C-D)]=138$.....ส่วน $n(U)=501$.......จะได้ความน่าจะเป็น$=\frac{46}{167} $
มีวิธีหาดังนี้
$n[(A-B)\cup (C-D)]$
$=n(A-B)+n(C-D)-n[(A-B)\cap (C-D)]$
$=[n(A)-n(A\cap B)]+[n(C)-n(C\cap D)]-n[(A\cap B^{'} )\cap (C\cap D^{'})]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n[A\cap C\cap B^{'} \cap D^{'})]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n[(A\cap C)\cap (B \cup D)^{'}]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n[(A\cap C)- (B \cup D)]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-\left[\,n(A\cap C)- n[(A\cap C)\cap (B \cup D)]\right] $
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n(A\cap C)+ n[(A\cap C)\cap (B \cup D)]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n(A\cap C)+ n[(A\cap C\cap B )\cup(A\cap C\cap D)]$
$=n(A)-n(A\cap B)+n(C)-n(C\cap D)-n(A\cap C)+ [n(A\cap C\cap B )+n(A\cap C\cap D)-n(A\cap C\cap B\cap D)]$
$=126-26+71-24-18+ 4+6-1=138$
เพราะว่าเซต
$A=\left\{\,\right. x|(4\mid x)\left.\,\right\}....n(A)=126 $
$C=\left\{\,\right. x|(7\mid x)\left.\,\right\}.....n(C)=71 $
$A\cap B=\left\{\,\right. x|(20\mid x)\left.\,\right\} .....n(A\cap B)=26$
$C\cap D=\left\{\,\right. x|(21\mid x)\left.\,\right\}......n(C\cap D)=24 $
$A\cap C =\left\{\,\right. x|(28\mid x)\left.\,\right\}....n(A\cap C)=18 $
$A\cap C\cap B =\left\{\,\right. x|(140\mid x)\left.\,\right\}.......n(A\cap C\cap B)=4 $
$A\cap C\cap D =\left\{\,\right. x|(84\mid x)\left.\,\right\}........n(A\cap C\cap D)=6 $
$A\cap C\cap B\cap D =\left\{\,\right. x|(420\mid x)\left.\,\right\}......n(A\cap C\cap B\cap D )=1 $

[RyanGiggs]

ขอบคุณมากครับ