โจทย์หาผลบวกเลขโดด

[[FC]_Inuyasha]

ใ้ห้ $S(x)$ แทนผลบวกเลขโดดในแต่ละหลักของ $x$
จงหา $S(S(S(2^{2006})))$
จงแสดงวิธีทำ

[Amankris]

นับจำนวนหลักแล้วจะง่ายครับ

[[FC]_Inuyasha]

ถ้าทราบจน.หลักแล้วจะนำไปสู่การหาผลบวกเลขโดดได้อย่างไรครับ

[[FC]_Inuyasha]

ผมคิดได้แบบ นำตัวเลขโดดมาบวกกัน เรื่อยๆจยเหลือเลขโดดๆตัวเดียว
$S(2^{0})=1$
$S(2^{1})=2$
$S(2^{2})=4$
$S(2^{3})=8$
$S(2^{4})=S(16)=7$
$S(2^{5})=S(32)=5$
$S(2^{6})=S(64)=S(10)=1$
$ .$
$ .$
$ .$
$(วนซ้ำทุกๆ6ตัว)$
ได้ว่า เมื่อบวกจนเหลือเลขโดดตัวเดียว(ตามที่กล่าวข้างต้น) จะมีค่าเท่ากับผลบวกเลขโดดของ$2^{2006 mod 6}$
$= 2^{2}=4$
แต่ s แค่3ตัว ไม่รู้ว่ามันจะบวกกันจนเหลือเลขโดดตัวเดียวเลยหรือเปล่า เพราะช้อยส์มันมีที่เป็นเลข2หลักให้เลือกด้วย ช่วยทีครับ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ผมคิดได้แบบ นำตัวเลขโดดมาบวกกัน เรื่อยๆจยเหลือเลขโดดๆตัวเดียว
$S(2^{0})=1$
$S(2^{1})=2$
$S(2^{2})=4$
$S(2^{3})=8$
$S(2^{4})=S(16)=7$
$S(2^{5})=S(32)=5$
$S(2^{6})=S(64)=S(10)=1$
$ .$
$ .$
$ .$
$(วนซ้ำทุกๆ6ตัว)$
ได้ว่า เมื่อบวกจนเหลือเลขโดดตัวเดียว(ตามที่กล่าวข้างต้น) จะมีค่าเท่ากับผลบวกเลขโดดของ$2^{2006 mod 6}$
$= 2^{2}=4$
แต่ s แค่3ตัว ไม่รู้ว่ามันจะบวกกันจนเหลือเลขโดดตัวเดียวเลยหรือเปล่า เพราะช้อยส์มันมีที่เป็นเลข2หลักให้เลือกด้วย ช่วยทีครับ

S(64) = 10 ไม่ใ่ช่หรอครับ

[[FC]_Inuyasha]

ใช่ครับ แต่ผมจะให้มันวนซ้ำไงครับ

[Amankris]

สำหรับข้อนี้ ถ้าคนไม่เคยพบ น่าจะรู้สึกตกใจว่า

เราจะหาค่าของ $S(S(S(2^{2006})))$ ได้อย่างไร


ขั้นแรก ให้ลองหาขอบเขตของค่าที่เป็นไปได้ก่อน

Hide

$\begin {array}{rcll}2^{2006}&=&10^{2006\log 2}&<10^{604}\\
S(2^{2006})&\leqslant &604\cdot 9&=5436\\
S(S(2^{2006}))&\leqslant &S(4999)&=31\\
S(S(S(2^{2006})))&\leqslant &S(29)&=11
\end {array}$

ขั้นสอง สนใจตัวที่เป็นไปได้ทั้งหมด

Hide

$\begin {array}{rll}S(n)&\equiv n&(\textrm {mod}\ 9)\\
S(S(S(2^{2006})))&\equiv 2^{2006}&(\textrm {mod}\ 9)\\
&\equiv 2^2\cdot (2^6)^{334}&(\textrm {mod}\ 9)\\
&\equiv 4&(\textrm {mod}\ 9)
\end {array}$

ทีนี้ เราก็จะสรุปอะไรบางอย่างได้
ปล. #4 ถ้าเป็นการเขียน Soln ไม่ควรจะเขียนคำว่า "วนซ้ำทุก 6 ตัว" นะครับ