Function Problems

[Influenza_Mathematics]

1. $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy -2552 , f(2552) = -2552$ จงหา $f(2)$
2. $f(f(x)+y) = f(x+y) +f(0)$ และให้ $c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f(x)$
3. $\displaystyle{f(x) + f( \frac{1}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x) $
4. $\displaystyle{f( \frac{x-3}{x+1} ) + f( \frac{3+x}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x)$
5. $[f(x)]^2=f(x+y)f(x-y)$ ให้ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงตัว จงหา $f(x) $

[~ArT_Ty~]

เป็นฟังก์ชันจากอะไรไปอะไรอ่ะครับ

[Influenza_Mathematics]

ปลุก ๆ เอามาจาก Sheet ใน internet ครับ ไม่ได้บอกไว้

[{([Son'car])}]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

1. $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy -2552 , f(2552) = -2552$ จงหา $f(2)$

$f(2550+2) = -2552$
$=f(2550) + [f(2) + 2(2550)(2) -2552]$
$=f(2548) + [f(2) + 2(2548)(2) -2552]+ [f(2) + 2(2550)(2) -2552]$
$=f(2546) +[f(2) + 2(2546)(2) -2552]+[f(2) + 2(2548)(2) -2552]+[f(2) + 2(2550)(2) -2552]$
$\vdots$
$=f(2)+[f(2)+2(2)(2)-2552]+...+ [f(2) + 2(2548)(2) -2552]+ [f(2) + 2(2550)(2) -2552]$
$=1276f(2)+4(2+4+...+2548+2550)-1276(2552)$
$=1276f(2)+1274(2552)$
$\therefore 1276f(2)=-2552-1274(2552)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-1275(2552)$
$f(2)=\frac{-1275(2552)}{1276} =-2550$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

3. $\displaystyle{f(x) + f( \frac{1}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x) $

แทน $x$ ด้วย $1-x$

$f(1-x)+f(\frac{1}{x})=1-x------(1)$

แทน $x$ ด้วย $1-\frac{1}{x}$ ใน $(1)$

$f(\frac{1}{x})+f(1+\frac{1}{x-1})=\frac{1}{x}------(2)$

แทน $x$ ด้วย $1-\frac{1}{x}$ ใน $(2)$

$f(1+\frac{1}{x-1})+f(1-x)=1+\frac{1}{x-1}------(3)$

$(1)+(2)-(3)$

$f(\frac{1}{x})=\frac{-x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x}}{2}------(4)$

แทน $x$ ด้วย $\frac{1}{x}$ ใน $(4)$

$f(x)=\frac{x-\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x-1}}{2}$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics

4. $\displaystyle{f( \frac{x-3}{x+1} ) + f( \frac{3+x}{1-x} ) = x}$ จงหา $f(x)$

แบบรวบรัดนะครับ (รวมถึงข้อด้านบนด้วย)
ลองทดตามดู

แทน $x$ ด้วย $ \frac{x-3}{x+1}$ จะได้
$f( \frac{3+x}{1-x} ) +f(x)=\frac{x-3}{x+1}-----(1)$

แทน $x$ ด้วย $ \frac{3+x}{1-x}$ จะได้
$f( \frac{x-3}{x+1} ) +f(x)=\frac{3+x}{1-x}-----(2)$

$(1)+(2)$

$f(x)=\frac{\frac{x-3}{x+1}+\frac{3+x}{1-x}-x}{2}$

[~ArT_Ty~]

เอามาจาก sheet อันไหนเหรอครับ อยากได้มั่งครับ

[Influenza_Mathematics]

ช่วยดูนี่หน่อยครับ

จงหาผลเฉลยของสมการ $$\sqrt{(x+a)^2+4a} + a =x$$ เมื่อ $x \in \mathbb{R} $

วิธีคิดในหนังสือ $x-a \geqslant 0 , (x+a)^2+4a \geqslant 0$
จะได้ $x \geqslant a , a^2+(2x+4)a +x^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow (2x+4)^2-4(1)(x^2) \leqslant 0 \therefore x \leqslant -1$ จะได้ว่า $a \leqslant -1$ ---(1)
จัดรูป จะได้ $a(x+1) = 0$

เขาก็แยกกรณีไป สรุป
$a\leqslant -1$ ผลเฉลยคือ $x=-1$
$-1 < a < 0 $ ไม่มีผลเฉลย
$a=0$ มีผลเฉลยคือ $x \geqslant 0$ ทุกค่า $x$ (ถ้าวิธีคิดเป็นแบบหนังสือ จาก --1 มันไม่ขัดแย้งหรอครับ)
$a >0$ ไม่มีผลเฉลย

--------------------------------------
แต่ถ้าผมลองเทียบดิสคลิมิแนนท์โดยเป็น $x^2+2xa + (a^2+4a) \geqslant 0 \Leftrightarrow 4a^2 - 4(a^2+4a) \leqslant 0 , a\geqslant 0 $

มันจะขัดแย้งกับวิธีคิดในหนังสือเลยอะครับ

[Amankris]

$5).$
$f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $
$(f(x))^2=f(x+y)f(x-y)$ ---(*)

พิจารณา
สมมติ $\exists a$ , $f(a)=0$
$(x,y)$-->$(x,a-x)$ ใน (*); $f(x)=0$

สมมติ $\exists u$ , $f(u)<0$
$(x,y)$-->$(\frac{x+u}{2},\frac{x-u}{2})$ ใน (*); $f(x)f(u)\geqslant 0$ ---> $f(x)<0$

สมมติ $\exists v$ , $f(v)>0$
$(x,y)$-->$(\frac{x+v}{2},\frac{x-v}{2})$ ใน (*); $f(x)f(v)\geqslant 0$ ---> $f(x)>0$

นั่นคือ
1.$\forall x$ , $f(x)=0$
2.$\forall x$ , $f(x)<0$
3.$\forall x$ , $f(x)>0$

พิจารณา 3.

ให้ $c=ln$ $f(0)$
นิยาม $g:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $
$g(x)=ln$ $f(x)-c$ ---> $g(0)=0$

แทน $f(x)=e^{g(x)+c}$ ใน (*); $2g(x)=g(x+y)+g(x-y)$ ---(A)

$(x,y)$-->$(x,x)$ ใน (A); $2g(x)=g(2x)$

จาก (A) ; $g(x+y)+g(x-y)=g(2x)$ ---(B)

$(x,y)$-->$(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ ใน (B); $g(x)+g(y)=g(x+y)$

นั่นคือ $g$ สอดคล้องสมการโคชี

$f(x)=e^{g(x)+c}$ โดยที่ $g$ สอดคล้องสมการโคชี


กรณี $f(x)<0$ สามารถทำในทำนองเดียวกัน
$f(x)=-e^{g(x)+c}$ โดยที่ $g$ สอดคล้องสมการโคชี


เหลือแค่ตรวจคำตอบนะครับ ลองทำด้วยตัวเอง


//คาดว่า Domain น่าจะเป็น Q จะทำให้สรุป $g(x)=kx$ ได้