มือใหม่หัดขับ

[[SIL]]

ให้ $a_i > 0 (i=1,...,n)$ สอดคล้องกับ $a_1a_2...a_n=1$ จงพิสูจน์ว่า$(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)\geqslant 2^n$
วิธีทำของผมนะ
โดยอสมการAM-GM$จะได้ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geqslant(a_1a_2...a_n)^{\frac{1}{n}}$
$a_1+a_2+...+a_n\geqslant n$
$(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)\geqslant 2n$
$จะได้ \frac{(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)}{n}\geqslant 2$
โดยอสมการAM-GMอีกครั้ง $[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]^{\frac{1}{n}}\leqslant \frac{(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)}{n}$
เราสามารถสรุปได้เลยหรือไม่ว่า
$[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]^{\frac{1}{n}}\geqslant 2$
$[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]\geqslant 2^n$

ปล. $R_0$ คือจำนวนในช่วงไหนครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ให้ $a_i > 0 (i=1,...,n)$ สอดคล้องกับ $a_1a_2...a_n=1$ จงพิสูจน์ว่า$(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)\geqslant 2^n$
วิธีทำของผมนะ
โดยอสมการAM-GM$จะได้ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geqslant(a_1a_2...a_n)^{\frac{1}{n}}$
$a_1+a_2+...+a_n\geqslant n$
$(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)\geqslant 2n$
$จะได้ \frac{(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)}{n}\geqslant 2$
โดยอสมการAM-GMอีกครั้ง $[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]^{\frac{1}{n}}\leqslant \frac{(1+a_1)+(1+a_2)+...+(1+a_n)}{n}$
เราสามารถสรุปได้เลยหรือไม่ว่า
$[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]^{\frac{1}{n}}\geqslant 2$
$[(1+a_1)(1+a_2)\bullet ...\bullet (1+a_n)]\geqslant 2^n$

ปล. $R_0$ คือจำนวนในช่วงไหนครับ

ไม่ได้ครับ

ทำแค่นี้ก็พอ

$1+a_i\geq 2\sqrt{a_i},\,\forall i$

$R_0$ น่าจะหมายถึง $[0,\infty)$ ครับ

[[SIL]]

อ๋อ ขอบคุณครับ เราจับทุกตัวมาคูณกันแล้วใต้รูทจะเท่ากับ 1 นี่เอง
อันนี่ช่วยพิสูจน์หน่อยนะครับ พอดีเพื่อนผมทำเฉลยหาย
1. $\binom{n}{0}+\binom{n}{1} +\binom{n}{2} +\binom{n}{3} +...+\binom{n}{r} +...+\binom{n}{n} = 2^n$

อันนี้ผมงงมาจากไหนไม่รู้(พี่ๆช่วยทำให้ละเอียดขึ้นก็ดีครับ)
2. จาก $\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}(\frac{1}{n})^k$
เป็น $\sum_{k = 0}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{n^kk!}$
สุดท้ายได้ $\sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n+1})$

[{ChelseA}]

ให้ x และ y เป็น 1
$2^n=(1+1)^n$
=$\binom{n}{0}1^n*1+\binom{n}{1}1^{n-1}*1^2+...+\binom{n}{r}1^{n-r}*1^r+\binom{n}{n}1^n$
=$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{r}+\binom{n}{n}$

ผิดถูกชี้แนะด้วย

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ {ChelseA}

ให้ x และ y เป็น 1
$2^n=(1+1)^n$
=$\binom{n}{0}1^n*1+\binom{n}{1}1^{n-1}*1^2+...+\binom{n}{r}1^{n-r}*1^r+\binom{n}{n}1^n$
=$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{r}+\binom{n}{n}$

ผิดถูกชี้แนะด้วย

ถูแล้วครับ
**แนะนำเครื่องหมายคูณใช้ \times ครับ

[God Phoenix]

ส่วนข้อ 2.ผิดอยู่นะครับตรง $(1- \frac {k-1}{n+1})$

ต้องเป็น $(1- \frac {k-1}{n})$