มีปัญหาน่าสนใจ ทฤษฎีจำนวน มาฝากครับ

[drwut]

จงตอบคำถามดังต่อไปนี้


(1) จงหาคู่ของจำนวนเต็มบวก (k,n) ที่สอดคล้องกับ $3^n = k^3 + 1$

(2)จงหาคู่ของจำนวนเต็มบวก (k,n) ที่สอดคล้องกับ $3^n = k^2-40$

ลองทำกันดูครับแล้วจะเอาเฉลยมาฝากทีหลัง

[กิตติ]

ข้อแรกที่ผมคิดก็แปลงไปตามที่เฉลยไว้ในบล็อกแต่ไปไม่สุด พอเห็นเฉลยแล้ว...
แต่ข้อสองคิดออกแล้ว
$3^n=k^2-40 \rightarrow k^2-3^n=40$
ให้$n=2m$
จะได้$(k-3^m)(k+3^m)=40 =2\times 2\times 2\times5$
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้$k,n$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น$(k-3^m),(k+3^m)$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
ให้$40= A\times B$ เมื่อ $A, B$เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น$(k-3^m)=A $ และ $(k+3^m)= B$
$k = A+3^m$ และ $ k= B -3^m$
$2 \times 3^m = B-A$ ดังนั้น เราต้องแยกตัวประกอบของ $40$ เป็นจำนวนเต็มสองจำนวนโดยให้ $B>A$
จะได้$(40,1),(20,2),(10,4),(8,5)$
และผลต่างต้องเป็นจำนวนคู่ คือ $(20,2),(10,4)$
คู่แรก $(20,2)$ ได้$3^m = 9 \rightarrow m=2, \ n=4 ,\ k=11$
คู่ที่สอง $(10,4)$ ได้$3^m = 3 \rightarrow m=1, \ n=2 ,\ k=7$

ดังนั้นมีสองคู่คือ $ n=2 ,\ k=7$ และ $n=4 ,\ k=11$

[drwut]

คุณกิตติทำได้ถูกต้องทุกประการเลยครับ ส่วนข้อหนึ่ง เข้าไปดูเฉลยได้ที่ http://punnong.blogspot.com/2010/09/53_25.html

[Onasdi]

ถามนิดนึงครับว่าเราให้ $n=2m$ ได้เหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ถามนิดนึงครับว่าเราให้ $n=2m$ ได้เหรอครับ

ลองใช้ mod 4 ดูสิครับ

[drwut]

เริ่มจากดูว่า $k^2$ ว่าหาร 4 แล้วเป็นยังไงบ้าง แล้วก็ดูด้วยว่า $3^n$ ว่าหาร 4 แล้วเป็นไง แล้วจะรู้เองครับว่าทำไม n=2m ได้

[Onasdi]

ขอบคุณครับ คือผมตั้งใจจะถามคุณกิตติว่ามีเหตุผลในการให้ $n=2m$ รึเปล่าครับ

[กิตติ]

ผมคิดตามความรู้ที่ผมมีแค่ว่า ผมต้องการสร้างผลต่างกำลังสองของพจน์สองพจน์เท่านั้น การกำหนดดังกล่าวเพื่อความง่ายในการมองเท่านั้น
ถ้าผมจะให้เป็น$\sqrt{3^m} $ น่าจะให้ความหมายเดียวกัน
ผมไม่มีความรู้ลึกขนาดนึกไปถึงว่าต้องหารด้วย 4 ได้หรือเปล่า...ด้วยความสัตย์จริง

[Onasdi]

ครับ งั้นจากวิธีทำข้างบน จะสรุปได้ว่าคำตอบที่ n เป็นจำนวนคู่ มีอยู่ 2 ชุดตามที่ได้มา
แต่ยังสรุปไม่ได้ว่าจะมีคำตอบที่ n เป็นจำนวนคี่ ด้วยรึเปล่า
ถ้าใช้การหารด้วย 4 ตามที่ทั้งสองท่านแนะนำมา ก็จะสรุปว่าไม่มีคำตอบที่ n เป็นจำนวนคี่ครับ