จำนวนเชิงซ้อน

[polsk133]

ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$

[~ToucHUp~]

ตอบ $\sqrt{32}$ ครับ วิธีทำกำลังจะตามมา แต่ขอโปะไว้ก่อนละกัน 555+

[~ToucHUp~]

จากที่โจทย์กำหนด จะได้ว่า $a^2-2ab+b^2=28$ ......(1)
ให้ $x^2+z_1x+z_2+m=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)+ab$
จะได้ $a+b=-z_1$ และ $ab=z_2+m$
จะได้ $a^2+2ab+b^2=z^2_1$ และ $4ab=4z_2+4m$
เอาอันแรกลบอันที่สองจากบรรทัดที่แล้ว แล้วแทนค่า $4z_2=z_1^2-12-16i$
จะได้ค่าของ $a^2-2ab-b^2$ มา จับเท่ากับ (1)
จะได้ $12+16i-4m=28 \rightarrow 4m=-16+16i$
$m=-4+4i$ หาขนาดก็ต่อเองนะครับ

[PP_nine]

#3

สมบัติที่ว่า $|z|=a$ แล้ว $z^2=a^2$ เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $z$ เท่านั้นครับ

เช่น $|1+i|=\sqrt{2}$

แต่ $(1+i)^2 \not= 2$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$

ก็ว่าคุ้นๆ ข้อสอบค่ายสองปีล่าสุดนี่นา

จากที่ $a,b$ เป็นรากสมการ $x^2+z_1x+z_2+m=0$

ดังนั้น
$$a+b=-z_1$$
$$ab=z_2+m$$
ทำให้ $$12+16i=z_1^2-4z_2=(a+b)^2-4ab+4m$$
$$(a-b)^2=12+16i-4m$$
$$|a-b|^2=|12+16i-4m|$$
$$28=|12+16i-4m|$$
$$7=|3+4i-m|$$
$$7=|m-(3+4i)|$$
เมื่อพิจารณาในเชิงของเรขาคณิตวิเคราะห์มันก็คือสมการวงกลม

ดังนั้นเซตคำตอบของ $m$ บนระนาบเชิงซ้อนก็คือจุดบนวงกลมรัศมี $7$ ที่มี $(3,4)$ เป็นจุดศูนย์กลาง

โดยเราต้องการหาว่าจุดใดที่ห่างจากจุด $(0,0)$ มากที่สุด

ซึ่งก็คือจุดที่อยู่บนเส้นที่ลากจาก $(0,0)$ ผ่าน $(3,4)$ ไปตัดเส้นรอบวง โดยจุดนั้นอยู่ตรงข้ามกับ $(0,0)$ เทียบกับ $(3,4)$ (ในควอตแรนท์ที่ 1)

จะได้ระยะทางเป็น $\sqrt{3^2+4^2}+7=12$ #

[~ToucHUp~]

งงอะครับ ช่วยบอกหน่อยครับว่าผมผิดยังไง งงๆมองไม่ออก
แล้วก็ สมการ $7=\mid m-(3+4i)\mid$ มันเป็นวงกลมยังไงเหรอครับ ช่วยสอนผมที

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

จากที่โจทย์กำหนด จะได้ว่า $a^2-2ab+b^2=28$ ......(1)
ให้ $x^2+z_1x+z_2+m=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)+ab$
จะได้ $a+b=-z_1$ และ $ab=z_2+m$
จะได้ $a^2+2ab+b^2=z^2_1$ และ $4ab=4z_2+4m$
เอาอันแรกลบอันที่สองจากบรรทัดที่แล้ว แล้วแทนค่า $4z_2=z_1^2-12-16i$
จะได้ค่าของ $a^2-2ab+b^2$ มา จับเท่ากับ (1)
จะได้ $12+16i-4m=28 \rightarrow 4m=-16+16i$
$m=-4+4i$ หาขนาดก็ต่อเองนะครับ

ดูตรงบรรทัดสีแดงครับ
คือโจทย์บอกว่า $|a-b|=2\sqrt{7} $ จะต้องได้ว่า $|a-b|^2=28$ แต่ของคุณ~ToucHUp~ ได้ว่า
$|a-b|=2\sqrt{7} \Rightarrow (a-b)^2=28$ ซึ่งไม่จริงเพราะว่า $ (a-b)^2$ อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ (ตามที่คุณ PP_nine บอก)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ToucHUp~

งงอะครับ ช่วยบอกหน่อยครับว่าผมผิดยังไง งงๆมองไม่ออก
แล้วก็ สมการ $7=\mid m-(3+4i)\mid$ มันเป็นวงกลมยังไงเหรอครับ ช่วยสอนผมที

เนื่องจาก $m$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ให้ $m=a+bi, \exists a,b\in \mathbb{R} $ จะได้สมการเป็น
$7=\mid (a-3)+(b+4)i\mid \Rightarrow 7=\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2} \Rightarrow 7^2=(a-3)^2+(b-4)^2$ จะได้ว่า $(a,b)$ เป็นจุดบนวงกลมรัศมี $7$ ที่มี $(3,4)$ เป็นจุดศูนย์กลาง

[~ToucHUp~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ก็ว่าคุ้นๆ ข้อสอบค่ายสองปีล่าสุดนี่นา

จากที่ $a,b$ เป็นรากสมการ $x^2+z_1x+z_2+m=0$

ดังนั้น
$$a+b=-z_1$$
$$ab=z_2+m$$
ทำให้ $$12+16i=z_1^2-4z_2=(a+b)^2-4ab+4m$$
$$(a-b)^2=12+16i-4m$$
$$28=|12+16i-4m|$$
$$7=|3+4i-m|$$
$$7=|m-(3+4i)|$$

ช่วยบอกที่มาหน่อยครับ

[AnDroMeDa]

$$|a-b|=2\sqrt{7} \Rightarrow 28=|a-b|^2=|(a-b)^2|=|(a+b)^2-4ab|=|z_1^2-4z_2-4m|=|12+16i-4m|$$

[~ToucHUp~]

ขอบคุณมากครับ

[PP_nine]

ขอโทษนะครับ รีบตอบไปหน่อย

[polsk133]

ขอบคุณครับเจอครั้งใรกก็ในค่ายเลยเรื่องนี้

จึงมีปัญหาบ้าง

ปล.คุณพีพีรู้ทันผมอีก555