ข้อสอบคณิตศาสตร์ทุนกพ.ประจำปี2555(สอบเมื่อ 3 ธค.2554)

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

หลอกลุงBankerมาทำโจทย์ด้วยกันดีกว่า....ผมแก้ลิงค์ให้หมดแล้วครับ
ข้อนี้ผมคิดแบบเดียวกับลุง

คิดว่าถุงเท้าแต่ละข้างต่างกัน มีของ 14 ชิ้น
จำนวนวิธีที่หยิบถุงเท้ามาสามข้างเท่ากับ $14^3$ วิธี
จำนวนวิธีที่หยิบถุงเท้ามาได้สีเดียวกันสองข้างเท่ากับ $3!\times 14 \times 12$
ความน่าจะเป็นที่หยิบถุงเท้ามาได้สีเดียวกันสองข้างเท่ากับ $\frac{3!\times 14 \times 12}{14^3} $
เท่ากับ $\frac{18}{49} $

หยิบ 3 ข้าง $=\binom{14}{3} $

ถ้า $14^3$ หยิบแล้วใส่คืนแล้วหยิบใหม่

$3!\times 14\times 12$ ลองคิดใหม่ดีไหมครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับพี่เล็ก เป็นความสะเพร่าในการทำโจทย์ของผมเองที่ไม่ได้ดูตัวเลขให้ดีครับ
งั้นข้อ 5.1คำตอบจะเป็น
$\frac{10!}{4!5!}+\frac{10!}{2!3!5!} +\frac{10!}{2!4!4!} $ ผมไม่ได้หารส่วนที่สามด้วย 2 เพราะกลุ่มละ4นั้น นำไปใส่เรือที่ต่างกัน

เท่ากับ $1260+2520+3150=6930$

ข้อ5.2
จำนวนวิธีที่หยิบถุงเท้าสามข้างจาก 14 ข้างเท่ากับ $P14,3 $
จำนวนวิธีที่หยิบถุงเท้าสามข้างได้สีเดียวกันสองข้างเท่ากับ $3!\times 7\times 12$
ความน่าจะเป็นที่หยิบถุงเท้าสามข้างได้สีเดียวกันสองข้างเท่ากับ $\frac{3!\times 7\times 12}{P14,3}=\frac{3}{13} $

[PURE MATH]

$$f^-1 (x) = \cases{\sqrt{x} +1 & , x > 1 \cr \sqrt[3]{x}+1 & , x \leqslant 1}$$
$$g(k) = k^3 +2k^2 - k = 2 \therefore k=1 เนื่องจาก k\in \mathbb{N}$$
$$f^-1 (1) + f^-1 (-27) = 2+(-3+1) = 0$$

[PURE MATH]

$$ก. ab=2c(m) , m\in \mathbb{Z} ...(1)$$
$$ข. bc=5a(n) , n\in \mathbb{Z} ...(2)$$
$$ค. ac=7b(p) , p\in \mathbb{Z} ...(3)$$
$$(1)\times (2)\times (3) ; abc = 70(mnp) เนื่องจากต้องการ abc ต่ำสุดและ a,b,c \in \mathbb{N} $$
$$จะได้ว่า mnp = 1 \therefore abc ต่ำสุด มีค่าเท่ากับ 70$$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

$$ก. ab=2c(m) , m\in \mathbb{Z} ...(1)$$
$$ข. bc=5a(n) , n\in \mathbb{Z} ...(2)$$
$$ค. ac=7b(p) , p\in \mathbb{Z} ...(3)$$
$$(1)\times (2)\times (3) ; abc = 70(mnp) เนื่องจากต้องการ abc ต่ำสุดและ a,b,c \in \mathbb{N} $$
$$จะได้ว่า mnp = 1 \therefore abc ต่ำสุด มีค่าเท่ากับ 70$$

Are u sure?

[PURE MATH]

ผิดพลาดตรงไหนช่วยแนะนำด้วยนะครับ.

[กิตติ]

ลองวาดรูปตามโจทย์



จะได้ว่า $\theta =\hat A +\hat C =\pi-\hat B$
$\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\hat B}{2} $
$\sin (\frac{\theta}{2})=\cos (\frac{\hat B}{2})$
$\cos (\frac{\theta}{2})=\sin (\frac{\hat B}{2})$

$\cos \hat B=\frac{21^2+10^2-17^2}{2(21)(10)} $
$=\frac{3}{5} $
$\sin \hat B=\frac{4}{5}$

$\cos \hat B=2\cos^2 (\frac{\hat B}{2})-1$
$\cos (\frac{\hat B}{2})=\frac{2}{\sqrt{5} } $
$\sin (\frac{\hat B}{2})=\frac{1}{\sqrt{5} }$

$\sin (\frac{\theta}{2})-\cos (\frac{\theta}{2})=\cos (\frac{\hat B}{2})-\sin (\frac{\hat B}{2})$
$=\frac{1}{\sqrt{5} }$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PURE MATH

$$ก. ab=2c(m) , m\in \mathbb{Z} ...(1)$$
$$ข. bc=5a(n) , n\in \mathbb{Z} ...(2)$$
$$ค. ac=7b(p) , p\in \mathbb{Z} ...(3)$$
$$(1)\times (2)\times (3) ; abc = 70(mnp) เนื่องจากต้องการ abc ต่ำสุดและ a,b,c \in \mathbb{N} $$
$$จะได้ว่า mnp = 1 \therefore abc ต่ำสุด มีค่าเท่ากับ 70$$

เพราะว่า ถ้า mnp=1
เราจะได้ m=n=p=1 เท่านั้น (โจทย์กำหนด a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก)

ซึ่ง พอแก้ระบบสมการแล้วมันจะรวน

ผมทำงี้
จากที่คุณทำ จะได้ abc=70mnp
แต่จากโจทย์เราจะได้ $abc=2c^2m=5a^2n=7b^2p=70mnp$
$c^2=35mnp$ แสดงว่า 5,7 หาร c ลงตัว
$b^2=10mnp$ แสดงว่า 2,5 หาร b ลงตัว
$a^2=14mnp$ แสดงว่า 2,7 หาร a ลงตัว
เราต้องการค่าต่ำสุด
เราลอง take $c=35,b=10,a=14$
เราพบว่าสอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์พอดี
ตอบ abc=4900

[กิตติ]

หาขอบเขตของค่า $x$ ก่อนจะได้ว่า $x\geqslant -\frac{1}{2} $
$\sqrt{2x+1} -3=\sqrt{x+7}-\sqrt{x+3} $
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$(2x+1)-6\sqrt{2x+1}+9=(x+7)-2\sqrt{(x+3)(x+7)}+(x+3) $
$3\sqrt{2x+1}=\sqrt{x^2+10x+21}$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$9(2x+1)=x^2+10x+21$
$x^2-8x+12=0$
$x=2,6$
แทนค่า $x$ ในสมการเพื่อหาค่าที่ใช้ได้ เหลือ $x=6$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

พึ่งอ่านมาแต่งงมาก เลยลองมาทำโจทย์เผื่อช่วยได้ (ถ้าผิดก็ทักท้วงได้เลยนะครับ)

$\det( 3\sqrt{3}I)= 27 = \det (A)^3$

$\therefore \det (A)=3 , \det (C) =\dfrac{1}{3}$

take det ไปทั้งสองข้าง

$\det (AB^tC) = \det \bmatrix{-4 & 1 \\ 4 & 5} $

$\det (B^t) \det (A) \det (C) = 16$

$\det (B) = 16$

$\det (AB^tC) = \det \bmatrix{-4 & 1 \\ 4 & -5} $

พิมพ์ตกไปครับ เดี๋ยวคนอ่าน งง ครับ

[กิตติ]

ข้อนี้คิดเองแล้วงง เพราะนึกไม่ออกว่าจะตั้งตัวแปรสองตัวยังไงดี ลืมพวกแคลคลูลัสไปหมดแล้ว เลยลองกลับไปหาตัวอย่างโจทย์ ไปเจอตัวอย่างเจอในe-bookของคุณคณิต มงคลพิทักษ์สุข เจอพอดีเหมือนกันเป๊ะ



ให้ความสูงคือ $h$ ซม. และ รัศมีของทรงกระบอกคือ $r$ ซม.
พื้นที่ผิวคือ $A$
ปริมาตรของทรงกระบอกจะเป็นหน่วยลูกบาศก์เซนติเมตร
1 ลิตรเท่ากับ 1,000 ลบ.ซม.
จากตัวอย่างเราจะได้ว่า $1000=\pi r^2h \rightarrow h=\frac{1000}{\pi r^2} $
$A=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$
$\frac{dA}{ar}=4\pi r-2000r^{-2} =0$
$r^3=\frac{500}{\pi} \rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi} }=10\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} $
$h=10\sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} $

ผมไม่รู้ว่าข้อสอบกำหนดให้ค่า $\pi$ เท่ากับเท่าไหร่และหาไม่เจอว่าให้ตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง เลยตอบติดในรูปของ $\pi$

[lek2554]

ตอนคุณหมออยู่ ม.6 ต้องทำข้อนี้ได้แน่นอนครับ เพราะ

เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ปี 2532 ครับ (ตอนที่ 2 ข้อ 5)

[กิตติ]

ลืมไปแล้วว่า เคยทำได้ครับ น่าจะเคยลองทำ เพราะผมสอบเข้ามหาวิทยาลัยปี 2533 ผมอ่านข้อสอบโควต้าและเอนทรานซ์ โชคดีสอบโควต้าแล้วติดเลยไม่ได้มีโอกาสสอบเอนทรานซ์
ตอนนี้คงทำไม่ได้แล้วครับ ลืมแคลไปหมดแล้วครับ ทั้งๆที่ตอนเรียนปีหนึ่งไปลงเรียนแคลไว้ตัวหนึ่ง เป็นเบสิคแคล
ขอบคุณครับพี่เล็กที่ช่วยให้รำลึกถึงความหลังสมัยยังหนุ่มๆ ฮ่า ฮ่า ฮ่า....

[กิตติ]

ข้อนี้กวนใจมาสองวันเพิ่งคิดออก



ข้อนี้เล่นกับเรื่อง $2^n$
จากโจทย์กำหนด $n(P(A))+n(P(B))+n(P(C))=n(P(A\cup B\cup C))$
$2^{100}+2^{100}+2^{n(c)}=2^{n(A\cup B\cup C)}$
$2^{101}+2^{n(c)}=2^{n(A\cup B\cup C)}$

$n(c)=101$ มีอยู่ค่าเดียวที่ทำให้ $2^{101}+2^{n(c)}$ เขียนออกมาในรูปของ $2^n$ ได้
$2^{102}=2^{n(A\cup B\cup C)}$
ดังนั้น $n(A\cup B\cup C)=102$
$100+100+101+n(A\cap B \cap C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)=102$
$n(A\cap B \cap C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)=-199$
$n(A\cap B \cap C)=n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(A\cap C)-199$

$100-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C) \geqslant 0$
$n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C) \leqslant 100$ เช่นเดียวกันได้อีกสองสมการ
$n(A\cap B)+n(B\cap C)-n(A\cap B\cap C) \leqslant 100$
$n(A\cap C)+n(B\cap C)-n(A\cap B\cap C) \leqslant 101$
$2(n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(A\cap C))-3n(A\cap B\cap C) \leqslant 301$
$2(n(A\cap B\cap C)+199) -3n(A\cap B\cap C)\leqslant 301$
$n(A\cap B\cap C) \geqslant 97$

จำนวนสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $A\cap B\cap C$ คือ $97$