ถามเรื่องเซตหน่อยครับ

[issac]

จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์
1. $A$={$x \left|\,\right. x^{2556}+x^{2555}+x^{2554}+...+x^2+x+1 = 0$}
2. $B$={$x \left|\,\right. x$ เป็นเซตจำกัด}
3. $C$={$x \left|\,\right. x$ เป็นเซตของจำนวนจริง}

ข้อ 1. ผมตอบ $A$ เป็นเซตจำกัด (เพราะสมการดังกล่าวเป็นสมการพหุนามดีกรี 2556 ดังนั้นค่าของ x ที่เป็นไปได้ก็คงไม่เกิน 2556 ตัว)
ข้อ 2. ผมตอบ $B$ เป็นเซตอนันต์
(เช่น $B$={{1},{2},{3},....} ซึ่ง {1},{2},{3} เป็นเซตจำกัด )
ข้อ 3. ผมไม่มั่นใจว่า $C$={$\mathbb{R}$} เป็นเซตจำกัดหรืออนันต์อ่ะครับ
ผมรู้แต่ว่า $\mathbb{R}$ เป็นเซตอนันต์ เลยทำให้ {$\mathbb{R}$} เป็นเซตจำกัดหรือเปล่า??

ผมคิดผิดถูกยังไง รบกวนช่วยชี้แจงด้วย ขอบคุณครับ

[poper]

ผมว่า C เป็นเซตจำกัด ตามที่คุณ issac เข้าใจแหละครับ

[issac]

ช่วยเช็คให้หน่อยครับว่า ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหมดหรือไม่?
(ถ้าจริง แล้วจะมีวิธีพิสูจน์สั้นๆ ไหมครับ)

1. ถ้า $B$ เป็นเซตจำกัด และ $A\subset B$ แล้ว $A$ จะเป็นเซตจำกัด
2. ถ้า $A$ เป็นเซตอนันต์ และ $A\subset B$ แล้ว $B$ จะเป็นเซตอนันต์
3. สับเซตของเซตจำกัดย่อมเป็นเซตจำกัด
4. เซตที่มีสับเซตเป็นเซตอนันต์ย่อมเป็นเซตอนันต์
5. ถ้า $A\subset B$ และ $x\not\in B$ แล้ว $x\not\in A$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

จริงทุกข้อครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

จงพิจารณาว่าเซตต่อไปนี้เป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์
1. $A$={$x \left|\,\right. x^{2556}+x^{2555}+x^{2554}+...+x^2+x+1 = 0$}
2. $B$={$x \left|\,\right. x$ เป็นเซตจำกัด}
3. $C$={$x \left|\,\right. x$ เป็นเซตของจำนวนจริง}

1. $A=\emptyset$ ถ้าต้องการ $x\in\mathbb{R}$ แต่ถ้าต้องการ $x\in\mathbb{C}$ $A$ จะมีสมาชิก $2556$ ตัว

ทั้งสองกรณีจะทำให้ $A$ เป็นเซตจำกัด

2. $B$ เป็นเซตอนันต์ตามที่เข้าใจ

3. $C=\{\mathbb{R}\}$ เป็นเซตจำกัดเพราะมีสมาชิกเพียงแค่ตัวเดียว

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

ช่วยเช็คให้หน่อยครับว่า ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหมดหรือไม่?
(ถ้าจริง แล้วจะมีวิธีพิสูจน์สั้นๆ ไหมครับ)

1. ถ้า $B$ เป็นเซตจำกัด และ $A\subset B$ แล้ว $A$ จะเป็นเซตจำกัด

ถ้า $B$ เป็นเซตจำกัด แสดงว่า $|B| = k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ บางจำนวน

การที่ $A \subset B$ แสดงว่า $|A| \le |B|$

นั่นคือ $|A| \le k$

แสดงว่า $A$ เป็นเซตจำกัด

[issac]

ขอรบกวนช่วยเช็คคำตอบให้ทีครับ
1.กำหนด $A=${$1,2,3,4$}, $B=${$3,4,5,6,7$}

1.1 จำนวนเซต $X$ ทั้งหมดที่ทำให้ $X\subset B$ และ $X$ กับ $A$ ไม่มีสมาชิกร่วมกัน
1.2 จำนวนเซต $X$ ทั้งหมดที่ทำให้ $X\subset B$ และ $X$ กับ $A$ มีสมาชิกร่วมกัน

1.3 ถ้าเซต $X$ ทำให้ $X\subset A$ และ $X\subset B$ แล้ว $X$ มีสมาชิกมากที่สุดกี่ตัว
1.4 ถ้าเซต $X$ ทำให้ $A\subset X$ และ $B\subset X$ แล้ว $X$ มีสมาชิกน้อยที่สุดกี่ตัว

1.5 ถ้า $A$={$5,6,7,...,20$} และ $B$={$1,2,3,...,15$} แล้วจงหาจำนวนสมาชิกของ {$X \left.\,\right| X\subset A$ แต่ $X\not\subset B$}

ผมตอบ
1.1 ว่า 8 ตัว มาจาก ($2^{n(B-A)}=2^{3}=8$)
1.2 ว่า 24 ตัว มาจาก ($2^{n(B)}-2^{n(B-A)}=2^{5}-2^{3}=24$)
1.3 ว่า 2 ตัว มาจาก ($n(A\cap B)=2$)
1.4 ว่า 7 ตัว มาจาก ($n(A\cup B)=7$)
1.5 ว่า 63488 ตัว มาจาก ($2^{n(A)}-2^{n(A\cap B)}=2^{16}-2^{11}=63488$)
ข้อไหนคิดผิด หรืออย่างไร ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

ขอรบกวนช่วยเช็คคำตอบให้ทีครับ
1.กำหนด $A=${$1,2,3,4$}, $B=${$3,4,5,6,7$}






ผมตอบ
1.1 ว่า 8 ตัว มาจาก ($2^{n(B-A)}=2^{3}=8$)
1.2 ว่า 24 ตัว มาจาก ($2^{n(B)}-2^{n(B-A)}=2^{5}-2^{3}=24$)
1.3 ว่า 2 ตัว มาจาก ($n(A\cap B)=2$)
1.4 ว่า 7 ตัว มาจาก ($n(A\cup B)=7$)
1.5 ว่า 63488 ตัว มาจาก ($2^{n(A)}-2^{n(A\cap B)}=2^{16}-2^{11}=63488$)
ข้อไหนคิดผิด หรืออย่างไร ช่วยชี้แนะด้วยครับ

ถูกต้องแล้วครับผม

[issac]

รบกวนถามอีกข้อนึงครับ

จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้จริงหรือเท็จ
1. ถ้า $A\cap B$ เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A$ และ $B$ เป็นเซตอนันต์

ผมหาตัวอย่างค้านไม่ได้ เลยคิดว่า"จริง" แต่พอจริงแล้ว ไม่รู้พิสูจน์แบบนี้ได้หรือเปล่า

พิสูจน์ ($\because P\rightarrow Q \equiv \sim Q\rightarrow \sim P$)
$\therefore$ ถ้า $A\cap B$ เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A$ และ $B$ เป็นเซตอนันต์
$\equiv$ ถ้า $A$ หรือ $B$ เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด

กรณี 1: $A$ เป็นเซตอนันต์ และ $B$ เป็นเซตจำกัด
ให้ $A$ = {$a_1, a_2, a_3, ... $} และ $B$ ={$b_1, b_2, b_3, ... , b_n$}
กรณี 1.1: $\forall a_i \in A, \forall b_j\in B$ ซึ่ง $a_i \not= b_j$ เมื่อ $i = 1,2,3,... $ และ $j = 1,2,3, ... , n$ จะได้ $A\cap B = \phi $ เป็นเซตจำกัด
กรณี 1.2: $\exists a_i \in A, \exists b_j\in B$ ซึ่ง $a_i = b_j$ เมื่อ $i = 1,2,3,... $ และ $j = 1,2,3, ... , n$ จะได้ $A\cap B$ = {$a_i$} = {$b_j$} เมื่อ $j = 1,2,3, ... , n$
จึงได้ $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด

กรณี 2: $A$ เป็นเซตจำกัด และ $B$ เป็นเซตอนันต์ $\Rightarrow$ สามารถแสดงได้เช่นเดียวกับกรณี 1

กรณี 3: $A$ เป็นเซตจำกัด และ $B$ เป็นเซตจำกัด
ซึ่งแน่นอนว่า $A\cap B$ ต้องเป็นเซตจำกัดเท่านั้น

ดังนั้นไม่ว่ากรณีใด จะได้ $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด #

$\therefore $ ข้อความดังกล่าวเป็นจริง

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ issac

รบกวนถามอีกข้อนึงครับ



ผมหาตัวอย่างค้านไม่ได้ เลยคิดว่า"จริง" แต่พอจริงแล้ว ไม่รู้พิสูจน์แบบนี้ได้หรือเปล่า

พิสูจน์ ($\because P\rightarrow Q \equiv \sim Q\rightarrow \sim P$)
$\therefore$ ถ้า $A\cap B$ เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A$ และ $B$ เป็นเซตอนันต์
$\equiv$ ถ้า $A$ หรือ $B$ เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด

กรณี 1: $A$ เป็นเซตอนันต์ และ $B$ เป็นเซตจำกัด
ให้ $A$ = {$a_1, a_2, a_3, ... $} และ $B$ ={$b_1, b_2, b_3, ... , b_n$}
กรณี 1.1: $\forall a_i \in A, \forall b_j\in B$ ซึ่ง $a_i \not= b_j$ เมื่อ $i = 1,2,3,... $ และ $j = 1,2,3, ... , n$ จะได้ $A\cap B = \phi $ เป็นเซตจำกัด
กรณี 1.2: $\exists a_i \in A, \exists b_j\in B$ ซึ่ง $a_i = b_j$ เมื่อ $i = 1,2,3,... $ และ $j = 1,2,3, ... , n$ จะได้ $A\cap B$ = {$a_i$} = {$b_j$} เมื่อ $j = 1,2,3, ... , n$
จึงได้ $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด

กรณี 2: $A$ เป็นเซตจำกัด และ $B$ เป็นเซตอนันต์ $\Rightarrow$ สามารถแสดงได้เช่นเดียวกับกรณี 1

กรณี 3: $A$ เป็นเซตจำกัด และ $B$ เป็นเซตจำกัด
ซึ่งแน่นอนว่า $A\cap B$ ต้องเป็นเซตจำกัดเท่านั้น

ดังนั้นไม่ว่ากรณีใด จะได้ $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด #

$\therefore $ ข้อความดังกล่าวเป็นจริง

พิสูจน์
ตรงบรรทัดที่ 3 ต้องเป็น
$\equiv$ ถ้า $A$ หรือ $B$ ไม่เป็นเซตอนันต์ แล้ว $A\cap B$ เป็นเซตจำกัด