ขอความช่วยเหลือ โจทย์อินทิเกรตครับ

[Epyon]

มี 2 ข้อครับ ข้อแรกคิดต่ีอไม่ออกครับ มันวนกลับมาที่เดิม

$\int\arctan{\sqrt{x}}\,dx$
ให้ $u=arctan{\sqrt{x}} \ , \ du=\displaystyle{\frac{1}{x+1}*\frac{x^{\frac{-1}{2}}}{2}}dx$
$dv \ = \ dx \ , \ v \ = \ x$
จะได้ $x\arctan{\sqrt{x}} - \displaystyle{\frac{1}{2}}\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}dx$
ทีนี้ควรจะหาค่า $\int\displaystyle{\frac{\sqrt{x}}{x+1}}dx$ ยังไงดีครับ



ข้อ 2 ผมลองดูวิธีทำแล้ว รู้สึกว่าต้องจำสูตรของฟังก์ชั่นตรีโกณ อยากทราบว่ามีวิธีที่ง่ายกว่านี้ไหมครับ หากเราจำสูตรตรีโกณไม่ได้

$\int\sec^{-1}{x}\,dx$
ให้ $u=\sec^{-1}{x} \ , \ du=\displaystyle{\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}}dx$
$dv=dx \ , \ v=x$
ได้ $x\sec^{-1}{x} - \int\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}}dx$
หาค่า $\int\displaystyle{\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}}$
ให้ $x=\sec{\theta} \ , \ dx=\sec{\theta}\tan{\theta}d\theta$
ใช้สูตร $1+\tan^{2}{\theta}=\sec^{2}{\theta} \ , \ \tan{\theta}=\sqrt{\sec^{2}{\theta}-1}$
นำมาแทนค่าจะได้ $\int\displaystyle{\frac{\sec{\theta}\tan{\theta}d\theta}{\sqrt{\sec^{2}{\theta}-1}}}$
$= \int\displaystyle{\frac{\sec{\theta}\tan{\theta}d\theta}{\tan{\theta}}}$
$= \int\sec{\theta}d\theta$
$= \ln{|\sec{\theta}+\tan{\theta}|}$
นำ x มาแทนค่ากลับ จะได้ $= \ln{(x+\sqrt{x^{2}-1})}$
ตอบ $\int\sec^{-1}{x}dx = x\sec^{-1}{x} - \ln{(x+\sqrt{x^{2}-1})}$

ขอความกรุณาด้วยครับ

[Epyon]

ยังรอผู้รู้อยู่นะครับผม

[gnopy]

ข้อแรกทำต่อยังไง ก็ใ้ห้ $u =\sqrt{x}$ ดังนั้น $x=u^2,dx=2udu$
แล้วก็ทำต่อจะได้ $\frac{2u}{u^2+1}$

[Epyon]

ขอ Edit เพื่อสอบถามนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

ข้อแรกทำต่อยังไง ก็ใ้ห้ $u =\sqrt{x}$ ดังนั้น $x=u^2,dx=2udu$
แล้วก็ทำต่อจะได้ $\frac{2u}{u^2+1}$

ยังไม่เข้าใจครับ ช่วยอธิบายเพิ่มหน่อย

ตรง $\displaystyle{\frac{2u}{u^2+1}}$ มันไม่ใช่ $\displaystyle{\frac{2u^2}{u^2+1}}$ หรอครับ

เพราะในเมื่อ $u=\sqrt{x} \ , \ x=u^2 \ , \ dx=2udu$

จะได้ $\int \displaystyle{\frac{u}{u^2+1}}dx$ = $\int \displaystyle{\frac{u}{u^2+1}}2udu$

= $2\int \displaystyle{\frac{u^2}{u^2+1}}$

?????

[[SIL]]

ข้อ 2 ก็ให้ $secy = x$ แล้วต่อบายพาทจะได้ $\int sec^{-1}xdx = \int ydsecy = ysecy-\int secy dy$

[Epyon]

..........

[tontonton]

\int_{}^{\}\,1-\frac{1}{1+u^2} dx อ๊ะเป่าครับ

[gnopy]

$\int_{}^{\}\,1-\frac{1}{1+u^2} dx $
ใช่แล้วครับ

[Epyon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tontonton

\int_{}^{\}\,1-\frac{1}{1+u^2} dx อ๊ะเป่าครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnopy

$\int_{}^{\}\,1-\frac{1}{1+u^2} dx $
ใช่แล้วครับ

ขอโทษนะครับ ดูไม่รู้เรื่อง ถ้าไม่เป็นการรบกวนช่วยแก้ไขให้ทีครับ

[picmy]

คุณtontonton หมายถึงอย่างนี้คับ $\int [1-\frac{1}{1+u^2}]du$

[Epyon]

ขอบคุณทุกๆท่านมากครับ พอเข้าใจแล้ว

[tontonton]

ไช่ครับ ท่านgnopy